đặt A=\(\sqrt{6+\sqrt{6+....+\sqrt{6}}}\) bình phương lên r giải 

Ta có a₁ =\(\sqrt{6}>3\) 

     \(\Rightarrow a_2=\sqrt{6+a_1}< \sqrt{6+3}=3\)

     \(\Rightarrow a_{100}=\sqrt{6+a_{99}}< 3\)

Nên 2<a₁₀₀<3 do đó a₁₀₀ nằm trong khoảng 2

\(\sqrt{6}\)

\(2< \sqrt{6}< 3.\)

\(2< \sqrt{6+2}< \sqrt{6+\sqrt{6}}< \sqrt{6+3}=3\)

\(2< \sqrt{6+2}< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}}< \sqrt{6+3}=3\)

...

\(2< \sqrt{6+2}< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}< \sqrt{6+3}=3\)

Vậy phần nguyên của \(A=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}\)là 2

Ta co : \(\sqrt{6}\)> \(\sqrt{4}\)= 2

           \(\sqrt{6}\)<\(\sqrt{9}\)= 3

=> \(\sqrt{6+\sqrt{6}}\)<\(\sqrt{9}\)=3

=> \(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}\)<\(\sqrt{36}\)= 6

=> 2 < A < 3

=> phan nguyen cua A la 2

Kiếm đâu nhiều bài căn hay vậy? :D

Ta có:

\(2< \sqrt{6}< 3.\)(1)

\(\Rightarrow8< 6+\sqrt{6}< 9\Rightarrow2< \sqrt{8}< \sqrt{6+\sqrt{6}}< \sqrt{9}\)Tức là: \(2< \sqrt{6+\sqrt{6}}< 3\)(2)

Tương tự,

\(2< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}}< 3\)

...

\(2< \sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6+\sqrt{6}}}}< 3\)n dấu căn.

Vậy, phần nguyên của An = 2.

@Ta chứng minh \(2,5

Dòng đầu bổ sung thêm "(n dấu căn)"

Có \(A>\sqrt{6}\)

Có \(\sqrt{6}< \sqrt{9}=3\) \(\Rightarrow\sqrt{6+\sqrt{6}}< \sqrt{6+3}=3\)\(\Rightarrow A=\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}< 3\)

\(\Rightarrow\sqrt{6}< A< 3\)

\(\Rightarrow A\notin N\)

Em thử nhá, ko chắc đâu ạ. Em chỉ làm đc một cái thôi

Gọi biểu thức trên là A

*Chứng minh A > 1/6

Đặt \(x=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}\left(\text{n dấu căn}\right)\)

Thì \(x=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{9}}}}=\sqrt{6+3}=3\) (1)

Và \(x^2-6=\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}\left(\text{n -1 dấu căn}\right)\)

Biểu thức trở thành \(A=\frac{3-x}{9-x^2}=\frac{1}{3+x}\). Từ (1) suy ra \(A>\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}\)(*)