\(\dfrac{3x^2+6x+15}{x^2+2x+3}=\dfrac{3\left(x^2+2x+3\right)+6}{x^2+2x+3}\\ =3+\dfrac{6}{x ^2+2x+3}\)

Nhận thấy : \(x^2+2x+3=\left(x+1\right)^2+2\ge2\forall x\)

\(=>\dfrac{6}{x^2+2x+3}\le\dfrac{6}{2}=3\)

\(=>3+\dfrac{6}{x^2+2x+3}\le3+3=6\\ =>\dfrac{3x^2+6x+15}{x^2+2x+3}\le6\)

Dấu = xảy ra khi : x+1=0 hay x=-1

Vậy GTLN của đa thức là : 6 tại x = -1

\(A=\dfrac{6x-2}{3x^2+1}\\ \Leftrightarrow3Ax^2+A=6x-2\\ \Leftrightarrow3Ax^2-6x+A+2=0\)

Coi đây là PT bậc 2 ẩn x, PT có nghiệm 

\(\Leftrightarrow\Delta'=9-3\left(A+2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow3-3A\ge0\\ \Leftrightarrow A\le1\)

Vậy A chỉ có max, không có min

\(A_{max}=1\Leftrightarrow3x^2+1=6x-2\Leftrightarrow3\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\)

b: \(x^2-x+1=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

c: \(A=x^2-6x+9+2=\left(x-3\right)^2+2\ge2\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=3

d: \(B=-\left(x^2-4x+5\right)=-\left(x^2-4x+4+1\right)=-\left(x-2\right)^2-1\le-1\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=2

Bài 1 :

a) \(x^2-6x+2023\)

\(=x^2-2\cdot x\cdot3+3^2+2014\)

\(=\left(x-3\right)^2+2014\ge2014\forall x\)

Dấu "=' xảy ra \(\Leftrightarrow x-3=0\Leftrightarrow x=3\)

b) \(B=\left(3x+5\right)^2+\left(3x-5\right)^2-2\left(3x+5\right)\left(3x-5\right)\)

Dễ thấy đây là HĐT thứ 2

\(B=\left(3x-5-3x-5\right)^2\)

\(B=\left(-10\right)^2\)

\(B=100\)

=> tự kết luận

Bài 2 :

\(x^2+4x-45\)

\(=x^2+9x-5x-45\)

\(=x\left(x+9\right)-5\left(x+9\right)\)

\(=\left(x+9\right)\left(x-5\right)\)

1a) A=x² - 6x + 9 +2014

A= (x-3)² + 2014

ta có: (x-3)²\(\ge\)0\(\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+3\right)^2+2014\ge2014\)

Dấu "=" xảy ra <=> (x+3)² = 0

                        <=> x+3=0

                        <=> x = -3

Vậy Amin=2014 <=> x = -3

b) B= \(\left(3x+5\right)^2+\left(3x-5\right)^2-2\left(3x+5\right)\left(3x-5\right)\) 

= \(\left(3x+5-3x+5\right)^2\)

= 5² = 25

2)\(x^2+4x-45\)

= \(x^2+9x-5x-45\)

=\(x\left(x+9\right)-5\left(x+9\right)\)

=\(\left(x-5\right)\left(x+9\right)\)

\(A=x^2+6x=\left(x^2+6x+9\right)-9=\left(x+3\right)^2-9\ge-9\)

dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+3=0\Leftrightarrow x=-3\)

Vậy \(A_{min}=-9\Leftrightarrow x=-3\)

A=x^2-2.x.3+9+2000

=(x-3)^2+2000

Bước này bạn tự suy luận ra rồi kết luận là xong

Đặt  \(A=x^2-3x\)

\(A=\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)-\frac{9}{4}\)

\(A=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\)

Mà  \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow A\ge-\frac{9}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi :  \(x-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)

Vậy  \(A_{Min}=-\frac{9}{4}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)

Đặt  \(B=-x^2-2x\)

\(-B=x^2+2x\)

\(-B=\left(x^2+2x+1\right)-1\)

\(-B=\left(x+1\right)^2-1\)

Mà  \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-B\ge-1\Leftrightarrow B\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi :  \(x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy  \(B_{Max}=1\Leftrightarrow x=-1\)

Ta có:

A = \(\frac{-5}{3x^2-6x+108}=\frac{-5}{3\left(x^2-2x+1\right)+105}=\frac{-5}{3\left(x-1\right)^2+105}\)

Ta luôn có: (x - 1)² \(\ge\)0 \(\forall\)x ---> 3(x - 1)² \(\ge\)0 \(\forall\)x

=> 3(x - 1)² + 105 \(\ge\) 105 \(\forall\)x

=> \(-\frac{5}{3\left(x-1\right)^2+105}\ge-\frac{1}{21}\)\(\forall\)x

hay A \(\ge\)-1/21 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra khi: x - 1 = 0 <=> x = 1

Vậy A_min = -1/21 tại x = 1

Ta có:

\(A=\frac{-5}{3x^2-6x+108}=\frac{-5}{3x^2-6x+3+105}=\frac{-5}{3\left(x-1\right)^2+105}\)

\(3\left(x-1\right)^2+105\ge105\)\(,\forall x\)

\(\Rightarrow\frac{1}{3\left(x-1\right)^2+105}\le\frac{1}{105}\Rightarrow\frac{-1}{3\left(x-1\right)^2+105}\ge-\frac{1}{105}\)\(\Rightarrow\frac{-5}{3\left(x-1\right)^2+105}\ge-\frac{5}{105}=-\frac{1}{21}\) \(GTNNA=-\frac{1}{21}\Leftrightarrow3\left(x-1\right)^2=0\)

                                         \(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=0\)

                                                 \(\Rightarrow x-1=0\)

                                                                \(x=1\)

Vậy \(GTNNA=-\frac{1}{21}\Leftrightarrow x=1\)

Ta có: Q = 2 x 2  – 6x = 2( x 2  – 3x) = 2( x 2  – 2.3/2 x + 9/4 - 9/4)

      = 2[ x - 3 / 2 2  - 9/4 ] = 2 x - 3 / 2 2  - 9/2

Vì  x - 3 / 2 2  ≥ 0 nên 2 x - 3 / 2 2 ≥ 0 ⇒ 2 x - 3 / 2 2  - 9/2 ≥ - 9/2

Suy ra: Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất khi  x - 3 / 2 2  = 0 ⇒ x = 3/2

Vậy Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 3/2.

\(A\left(x\right)=\dfrac{4x^4+81}{2x^2-6x+9}\)

\(=\dfrac{4x^4+36x^2+81-36x^2}{2x^2-6x+9}\)

\(=\dfrac{\left(2x^2+9\right)^2-\left(6x\right)^2}{2x^2+9-6x}\)

\(=\dfrac{\left(2x^2+9+6x\right)\left(2x^2+9-6x\right)}{2x^2+9-6x}\)

\(=2x^2+6x+9\)

=>\(M\left(x\right)=2x^2+6x+9\)

\(=2\left(x^2+3x+\dfrac{9}{2}\right)\)

\(=2\left(x^2+3x+\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}\right)\)

\(=2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{9}{2}>=\dfrac{9}{2}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x+\dfrac{3}{2}=0\)

=>\(x=-\dfrac{3}{2}\)