Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O . Ba đường cao AD , BE,,CF cắt nhau tại H . kéo dài AO cắt đường tròn tâm O tại M ,AD cắt đường tròn tâm O tại K . cmr
a) MK//BC
b) DH=DK
c) Gọi I là trung điểm của BC. Cmr H,M,I thẳng hàng
d) AD/HD+BE/HE+CF/HF≥9
cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, ba đường cao AD,BE,CF của tam giac ABC cắt nhau ở H. kéo dài AO cát đường tròn tại M, kéo dài AD CẮT dường tròn O tại K
1. MK // BC
2. DH=DK
3.HM đi qua trung điểm của I của BC
giúp mk ý 2,3 nhá
1. Dễ thấy : Góc MKA = 90 độ (Chắn nửa cung tròn đường kính AM)
Lại có AK vuông góc với BC tại D => MK // BC
2. Ta có : Góc FBC = CAD ( cùng phụ với góc ACB)
Mà : Góc CAD = 1/2 sđ cung CK = góc CAK
=> Góc KBC = góc FBC = góc CAK = 1/2 sđ cung CK
Mà BC vuông góc với AK => Hai tam giác DBK và tam giác DBH bằng nhau (cgv.gnk) => DK = DH (Hai cạnh tương ứng)
3. Gọi I là trung điểm của BC .
Ta có : BE vuông góc với AC ; MC vuông góc với AC
=> BE // MC
Tương tự ta có : MB // CF
suy ra tứ giác BHCM là hình bình hành => Hai đường chéo BC và HM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà I là trung điểm BC
=> I cũng là trung điểm của HM => đpcm.
cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, ba đường cao AD,BE,CF của tam giac ABC cắt nhau ở H. kéo dài AO cát đường tròn tại M, kéo dài AD CẮT dường tròn O tại A
1. MK // BC
2. DH=DK
3.HM đi qua trung điểm của I của BC
giúp mk ý 2,3 nhá
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ), Đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H .AH ,BH, CH kéo dài cắt đường tròn tâm O lần lượt tại Q,P,R. M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AH , EF cắt AH tại K . Chứng minh :
a, Chứng minhTứ giác BFHD , CEHD , BFEC nội tiếp
b, Kẻ đường kinh AN , G là trọng tâm . Chứng minh H,G,O thẳng hàng
c, Chứng minh P,Q,R đối xứng với H qua AC,BC,AB
d, Chứng minh OA vuông góc với EF và tam giác ARQ cân
e, EF cắt đường tròn tại E1 và F1. Chứng minh AE1 , AF1 là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEE1 và tam giác BFF1
f, Chứng minh K là trực tâm của tam giác IBC
h,Chứng minh ME và MF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF
Câu 4(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là giao điểm của EF và BC. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AM tại P và AD tại Q.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Chứng minh DFC = EFC.
c) Chứng minh BP = BQ.
a: góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF nội tiếp
b: góc DFC=góc EBC
góc EFC=góc DAC
góc EBC=góc DAC
=>góc DFC=góc EFC
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh SAHG=2.SAGO
Nhanh với ạ
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.Chứng minh tứ giác BFECnội tiếpTia AO cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh AC = AK. AD;Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng.Cho BC cố định, A chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn, chứng minh diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) .Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của 2 đường thẳng BC,EF. Đường thẳng đi qua F song song với AC cắt AK,AD tại M,N .Chứng minh MF=NF
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) .Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của 2 đường thẳng BC,EF. Đường thẳng đi qua F song song với AC cắt AK,AD tại M,N .Chứng minh MF=NF
Gọi G là giao điểm của FC và AK.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác FBC với cát tuyến A, G, K ta có:
\(\dfrac{AF}{AB}.\dfrac{KB}{KC}.\dfrac{GC}{GF}=1\Rightarrow\dfrac{GC}{GF}=\dfrac{KC}{KB}.\dfrac{AB}{AF}\). (1)
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACB với cát tuyến K, E, F ta có:
\(\dfrac{EA}{EC}.\dfrac{KC}{KB}.\dfrac{FB}{FA}=1\Rightarrow\dfrac{KC}{KB}=\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{EC}{EA}\). (2)
Từ (1), (2) có \(\dfrac{GC}{GF}=\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{AB}{FB}\). (*)
Mặt khác áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AFC với cát tuyến B, H, E ta có:
\(\dfrac{HC}{HF}.\dfrac{BF}{BA}.\dfrac{EA}{EC}=1\Rightarrow\dfrac{HC}{HF}=\dfrac{AB}{FB}.\dfrac{EC}{EA}\). (**)
Từ (*), (**) ta có \(\dfrac{GC}{GF}=\dfrac{HC}{HF}\Rightarrow\dfrac{AC}{MF}=\dfrac{AC}{NF}\Rightarrow FM=FN\).
