Ta có a^5-a luôn chia hết cho 6

suy ra a^5+...+d^5 -2016 chia hết cho 6

dpcm

Lời giải:

Có 4 số a,b,c,d và 3 số dư có thể xảy ra khi chia một số cho 3 là 0,1,2

Do đó áp dụng nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất [\(\frac{4}{3}\)]+1=2số có cùng số dư khi chia cho 3

Không mất tổng quát giả sử đó là a,b⇒a−b⋮3

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3

Mặt khác

Trong 4 số a,b,c,da,b,c,d

Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 4 là a,b

⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)\(⋮\)4

Nếu a,b,c,d không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử a,b,c,d có số dư khi chia cho 4 lần lượt là 0,1,2,3

⇒c−a⋮2; d−b⋮2

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó nó cũng chia hết cho 12

Ta có đpcm,

đặt A=(b-a)(c-a)(c-b)(d-b)(c-d)

Trong 4 số a,b,c,d luôn có 2 số chia cho 3 có cùng số dư,do đó hiệu của chúng chia hết cho 3 hay A chia hết cho 3   (1)

Mặt khác: Trong a,b,c,d hoặc phải có 2 số chẵn,2 số lẻ

Chẳng hạn: a,b chẵn;c,d lẻ <=>b-a và d-c chia hết cho 2 <=>(b-a)(d-c) chia hết cho 2.2=4

=>A chia hết cho 4

Hoặc nếu không như vậy thì trong 4 số a,b,c,d sẽ tồn tại 2 số chia cho 4 có cùng số dư nên hiệu của chúng chia hết cho 4 =>A chia hết cho 4  (2)

Từ (1) và (2),kết hợp với (3;4)=1

=>A chia hết cho 3.4=12

=>đpcm
 

 13a + 3 = k² <=> 13a + 3 - 81 = k² - 81 <=> 13a - 78 = k²-9² 
<=> 13(a-6) = (k-9)(k+9) (*) 
do 13 là số nguyên tố nên từ (*) ta phải có k-9 hoặc k+9 chia hết cho 13 
=> k = 13n+9 hoặc k = 13n+4 
có a = (k²-3)/13 ; từ trên thấy k không nhận giá trị 0, -1, +1 nên k²-3 > 0 
Tóm lại các số tự nhiên a có dạng: 
a = [(13n+9)² - 3]/13 hoặc a = [(13n+4)² - 3]/13 với n tùy ý thuộc Z

Câu hỏi của Adminbird - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Lời giải:

Có $4$ số $a,b,c,d$ và $3$ số dư có thể xảy ra khi chia một số cho $3$ là $0,1,2$

Do đó áp dụng nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất \(\left [ \frac{4}{3} \right ]+1=2\) số có cùng số dư khi chia cho 3

Không mất tổng quát giả sử đó là \(a,b\Rightarrow a-b\vdots 3\)

\(\Rightarrow (b-a)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)\vdots 3\)

Mặt khác:

Trong 4 số $a,b,c,d$

Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho $4$ là $a,b$

\(\Rightarrow a-b\vdots 4\Rightarrow (b-a)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)\vdots 4\)

Nếu $a,b,c,d$ không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử $a,b,c,d$ có số dư khi chia cho $4$ lần lượt là $0,1,2,3$

\(\Rightarrow c-a\vdots 2; d-b\vdots 2\)

\(\Rightarrow (b-a)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)\vdots 4\)

Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó no cũng chia hết cho 12

Ta có đpcm,

Lời giải:

Có 44 số a,b,c,da,b,c,d và 33 số dư có thể xảy ra khi chia một số cho 33 là 0,1,20,1,2

Do đó áp dụng nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất [43]+1=2[43]+1=2 số có cùng số dư khi chia cho 3

Không mất tổng quát giả sử đó là a,b⇒a−b⋮3a,b⇒a−b⋮3

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3

Mặt khác:

Trong 4 số a,b,c,da,b,c,d

Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 44 là a,ba,b

⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Nếu a,b,c,da,b,c,d không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử a,b,c,da,b,c,d có số dư khi chia cho 44 lần lượt là 0,1,2,30,1,2,3

⇒c−a⋮2;d−b⋮2⇒c−a⋮2;d−b⋮2

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó no cũng chia hết cho 12

Cho 4 số nguyên phân biệt a,b,c,d. Chứng minh rằng : (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12

 Giải

Không mất tổng quát giả sử đó là a,b⇒a−b⋮3

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3

Mặt khác:

Trong 4 số a,b,c,d

Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 4 là a,b

⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Nếu a,b,c,d không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử a,b,c,d có số dư khi chia cho 4 lần lượt là 0,1,2,3

⇒c−a⋮2;d−b⋮2

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó no cũng chia hết cho 12

Ta có đpcm,