Lời giải:
Có $4$ số $a,b,c,d$ và $3$ số dư có thể xảy ra khi chia một số cho $3$ là $0,1,2$
Do đó áp dụng nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất \(\left [ \frac{4}{3} \right ]+1=2\) số có cùng số dư khi chia cho 3
Không mất tổng quát giả sử đó là \(a,b\Rightarrow a-b\vdots 3\)
\(\Rightarrow (b-a)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)\vdots 3\)
Mặt khác:
Trong 4 số $a,b,c,d$
Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho $4$ là $a,b$
\(\Rightarrow a-b\vdots 4\Rightarrow (b-a)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)\vdots 4\)
Nếu $a,b,c,d$ không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử $a,b,c,d$ có số dư khi chia cho $4$ lần lượt là $0,1,2,3$
\(\Rightarrow c-a\vdots 2; d-b\vdots 2\)
\(\Rightarrow (b-a)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)\vdots 4\)
Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó no cũng chia hết cho 12
Ta có đpcm,
