Cho đường tròn tâm O và 2 điểm B,C thuộc đường tròn .Các tiếp tuyến của đường tròn tại B,C cắt nhau ở A .M là 1 điểm trên cung nhỏ BC . Tiếp tuyên của đường tròn tại M cắt AB, AC tại D,E. BC cắt OD ở I và cắt OE tại K .CMR
a, DB.DE=DI.DO
b,OM,DK,EI đồng quy
a. Ta thấy \(\widehat{CBA}=\frac{sđ\left(BC\right)}{2}\) (Kí hiệu số đo cùng BC là sđ(BC) )
Lại có \(\widehat{DOC}=\widehat{DOM}+\widehat{MOE}=\frac{\widehat{BOM}}{2}+\widehat{\frac{MOC}{2}}=\frac{\widehat{BOC}}{2}=\frac{sđ\left(BC\right)}{2}\)
Vậy \(\widehat{CBA}=\widehat{DOE}\)
Lại có \(\widehat{BDI}=\widehat{ODE}\) (Do BD và DM là hai tiếp tuyến)
Vậy nên \(\Delta BDI\sim\Delta ODE\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{DI}{DE}=\frac{BD}{OD}\Rightarrow DB.DE=DI.DO\left(đpcm\right)\)
b. Ta thấy do \(\Delta BDI\sim\Delta ODE\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{BID}=\widehat{OED}=\widehat{OEC}\)
\(\Rightarrow\)OIEC là tứ giác nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{OIE}=\widehat{OCE}=90^o\Rightarrow EI\perp DO.\)
Tương tự \(DK\perp DE.\)
Xét tam giác ODE có OM, DK , EI là các đường cao nên chúng đồng quy.
Cho đường tròn tâm O và hai điểm B,C thuộc đường tròn . Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại A. M là 1 điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AB,AC theo thứ tự ở D và E . BC cắt OD ở I và cắt OE tại K. Chứng minh rằng:
a, DB.DE=DI.DO
b,OM,DK,EI đồng quy.
cho đường tròn tâm o , các điểm b và c nằm trên đường tròn . các tiếp tuyến tại b và c cắt nhau tại a . gọi m là điểm của cung nhỏ bc . tiếp tuyến tại m cắt ab và ac theo thứ tự d và e . gọi giao điểm của od và oe với bc lần lượt là i và k
Chứng minh rằng :
a) các tứ giác OBDK , DIKE là tứ giác nội tiếp ,
b)ba đường thẳng OM , DK , EI đồng quy
từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC ( B,C là các tiếp điểm ). gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đường tròn ( O ) ( M khác B và C ). Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E,F, đường thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. tìm M để diện tích OPQ min
Cho đường tròn tâm O và hai diểm B,C thuộc đường tròn ,các tiếp tuyền với đường tròn tại B và C cắt nhau ở A .M là một điểm thuộc cung nhỏ BC.Tiếp tuyến với đường tròn tại M cắt AB,AC theo thứ tự ở D và E .Gọi giao điểm của OD ,OE với BC theo thứ tự là I và K .CMR :
a, BD.OE=OD.BI
b,Tứ giác DIKE nọi tiếp
Từ điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O) (B và C là các tiếp điểm). OA cắt BC tại H, cắt đường tròn (O) tại 2 điểm I và K (I thuộc cung BC nhỏ, K thuộc cung BC lớn). Vẽ đường kính CD, cát tuyến AD cắt (O) tại M. BM cắt OA tại N
Chứng minh: a) Tứ giác AMHC nội tiếp
b) N là trung điểm của AH
c) 1/AN=1/AI+1/AK
a: Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
ΔDMC nội tiếp
DC là đường kính
Do đó: ΔDMC vuông tại M
=>CM\(\perp\)MD tại M
=>CM\(\perp\)AD tại M
Xét tứ giác AMHC có \(\widehat{AMC}=\widehat{AHC}=90^0\)
nên AMHC là tứ giác nội tiếp
cho đường tròn (O) đường kính A.Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC<BC (C khác A).các tiếp tuyến tại B và C của đương tròn tâm O cắt nhau ở điểm D.AD cắt đường tròn tâm O tại E (E khác A).DO cắt BC tại F
a) Chứng minh BC vuông góc OD
b) chứng minh DF.DO=DE.DA
a) Xét (O) có
DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
DC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: DB=DC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: DB=DC(cmt)
nên D nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: OB=OC(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra OD là đường trung trực của BC
hay OD\(\perp\)BC(đpcm)
b) Xét (O) có
ΔEAB nội tiếp đường tròn(E,A,B cùng thuộc đường tròn (O))
AB là đường kính(gt)
Do đó: ΔEAB vuông tại E(Định lí)
\(\Leftrightarrow\)BE\(\perp\)AE tại E
hay BE\(\perp\)DA
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔDBA vuông tại B có BE là đường cao ứng với cạnh huyền DA, ta được:
\(DE\cdot DA=DB^2\)(1)
Ta có: DO\(\perp\)BC(cmt)
mà DO cắt BC tại F(gt)
nên BF\(\perp\)DO tại F
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔDBO vuông tại B có BF là đường cao ứng với cạnh huyền DO, ta được:
\(DF\cdot DO=DB^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(DF\cdot DO=DE\cdot DA\)(đpcm)
từ A ở ngoài đường tròn (O;R) kẻ tiếp tuyến AB;AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm) . M là điểm trên cung nhỏ BC (M khác B và C) tiếp tuyến tại M cắt AB, AC thứ tự tại E ,F
a) OA vuông tại góc BC
Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
=>AB=AC
Ta có: OB=OC
AB=AC
Do đó: OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC
Cho đường tròn tâm O bán kính R , đường kính AB , lấy C thuộc đường đường tròn bất kì . Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn . Tiếp tuyến này cắt tia BC tại D. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD ở E
â) CM: 4 điểm A,E, C, Ở cùng thuộc 1 đường tròn
b) CM = BC. BD = 4R2 va OE // BD
c) Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc BC tại N cắt tia EC ở F. CM: BF là tiếp tuyến của đường tròn
đ) Gọi H là hình chiếu của C trên AB , AC cắt OE tại M . CM: Khi C di động trên đường tròn tâm O và thỏa mãn yêu cầu đề bài thì đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN luôn đi qua 1 điểm cố định
