Với đa thức hệ số nguyên, xét 2 số nguyên m, n bất kì, ta có:

\(f\left(m\right)-f\left(n\right)=am^3+bm^2+cm+d-an^3-bn^2-cn-d\)

\(=a\left(m^3-n^3\right)+b\left(m^2-n^2\right)+c\left(m-n\right)\)

\(=a\left(m-n\right)\left(m^2+n^2+mn\right)+b\left(m-n\right)\left(m+n\right)+c\left(m-n\right)\)

\(=\left(m-n\right)\left[a\left(m^2+n^2+mn\right)+b\left(m+n\right)+c\right]⋮\left(m-n\right)\)

\(\Rightarrow f\left(m\right)-f\left(n\right)⋮m-n\) với mọi m, n nguyên

Giả sử tồn tại đồng thời \(f\left(7\right)=53\) và \(f\left(3\right)=35\)

Theo cmt, ta phải có: \(f\left(7\right)-f\left(3\right)⋮7-3\Leftrightarrow53-35⋮4\Rightarrow18⋮4\) (vô lý)

Vậy điều giả sử là sai hay không thể đồng thời tồn tại \(f\left(7\right)=53\) và \(f\left(3\right)=35\)

Ta có f(7) = a.7^3+2.b.7^2+3.c.7+4d = 343a +98b+21c+4d

Lại có f(3)= \(a.3^3+2.b.3^2+3.c.3+4.d=27a+18b+9c+4d\\ \) 

Giả sử phản chứng : Nếu f(7) và f(3) đồng thời bằng 73 và 58 thì suy ra : \(f\left(7\right)-f\left(3\right)=\left(343a-27a\right)+\left(98b-18b\right)+\left(21c-9c\right)+\left(4d-4d\right)=73-58=15\)

\(\Rightarrow\)\(f\left(7\right)-f\left(3\right)=316a+90b+12c=15\)

Mà ta thấy các đơn thức chỉ có dạng chung duy nhất là 2k

\(\Rightarrow\)\(f\left(7\right)-f\left(3\right)=2k=15\)

Mà 15 ko chia hết cho 2 , suy ra giả sử sai

\(\Rightarrow\)\(\left(ĐPCM\right)\)

Chỗ "các đơn thức chỉ có dạng chung duy nhất là 2k" ấy mình thấy thay bằng:

Mà \(f\left(7\right)-f\left(3\right)=316a+90b+12c\)

                               \(=2\left(158a+45b+6c\right)⋮2\)

                                 =>ĐCCM

hay hơn.

Dù sao thì cũng cho bạn !!!

Cảm ơn bạn đã góp ý qwedsa123

minh moi hoc lop 6 thoi

minh khong bit giai bai nay

MINH BIT lam

MN lm đc câu a mk mừng rơi nước mắt lun

a) Đặt f(x)=c_1.x^n + c_2.x^(n - 1) + ... + c_(n - 1).x^2 + c_n.x

Ta có:
a^n − b^n

= (a−b).(a^(n−1) + a^(n−2).b + ... + b^(n−1))

⇒f(a) − f(b) = (a − b).P(a, b) với P(a, b) là 1 đa thức chứa a, b với hệ số nguyên
Suy ra f(a) - f(b) chia hết cho (a - b)

Gỉa sử f(17)=71 và f(12)=25

=>\(\begin{cases}a.17+b=71\\a.12+b=35\end{cases}\) 

=> ( 17a+b)-(12a+b)=71-35

=> 17a+b-12a-b=71-35

=> 5a=36

vid a thuộc Z => 5a\(⋮\)5

                        => 36 ko chiia hết cko 5

DO ĐÓ KO THỂ ĐỒNG THỜI CÓ f(17)=71 ; f(12)=35 (ĐPCM)

Giả sử f(17)=71 và f(12)=35 khi có f(x)=ax+b(a,c thuộc Z)

Ta có:

     f(17)=a.17+b=71 (1)

và f(12)=a.12+b=35​​ (2)

Lấy (1) trừ (2) ta được:

f(17)-f(12)=(a.17+b)-(a.12+b)=17a+b-12a-b=5a=36

Vì 5a=36 => a=\(\frac{36}{5}\)(vô lí vì a là số nguyên)

Vậy f(x)=ax+b(a,c là số nguyên 0 thj không xảy ra đồng thời f(17)=71 và f(12)=35(đccm)

Ta có : \(f(7)=a\cdot7^3+2\cdot b\cdot7^2+3\cdot c\cdot7+4d=343a+98b+21c+4d\)

Lại có : \(f(3)=a\cdot3^3+2\cdot b\cdot3^2+3\cdot c\cdot3+4d=27a+18b+9c+4d\)

Giả sử phản chứng nếu \(f(7)\)và \(f(3)\)đồng thời bằng 73 và 58 suy ra là :

\(f(7)-f(3)=(343a-27a)+(98b-18b)+(21c-9c)+(4d-4d)=73-58=15\)

\(\Rightarrow f(7)-f(3)=316a+90b+12c=15\)

Mà ta thấy các đơn thức chỉ có dạng chung duy nhất là 2k

\(f(7)-f(3)=2k=15\)

Mà 15 ko chia hết cho 2 , suy ra giả sử sai

=> đpcm

Giả sử:f(17)=71

          f(12)=35

=>f(17)-F(12)=(17a+b)-(12a+b)=71-35

                <=>5a=36

Do 5a chia hết cho 5

36 không chia hết cho 5

=> giả thiết sai

=> ĐCCM

Bài này dễ mà

\(f\left(2012\right)=2012^2a+2012b+c=2013\Rightarrow c\text{ lẻ.}\)

\(f\left(2014\right)=2014^2a+2014b+c=2014\Rightarrow c\text{ chẵn.}\)

2 điều trên mâu thuẫn nên ta có đpcm.