a) Ta có: m^3-m = m(m^2-1^2) = m.(m+1)(m-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp

 => m(m+1)(m-1) chia hết cho 3 và 2

Mà (3,2) = 1

=> m(m+1)(m-1) chia hết cho 6

=> m^3 - m  chia hết cho 6  V m thuộc Z

b) Ta có: (2n-1)-2n+1 = 2n-1-2n+1 = 0-1+1 = 0 luôn chia hết cho 8

=> (2n-1)-2n+1 luôn chia hết cho 8 V n thuộc Z

Tick nha pham thuy trang

a, m³ - m = m( m² - 1²) = m(m - 1 ) ( m + 1) => 3 số nguyên liên tiếp : hết cho 6

mk chỉ biết có thế thôi

công thanh sai rồi số nguyên chứ đâu phải số tự nhiên

1. Đề sai với $n=1$.

2. 

Nếu $n$ chẵn thì hiển nhiên $n(n+5)\vdots 2$

Nếu $n$ lẻ thì $n+5$ chẵn $\Rightarrow n(n+5)\vdots 2$

Vậy $n(n+5)\vdots 2$ với mọi $n\in\mathbb{N}$

3.

Vì $n+7, n+8$ là 2 số tự nhiên liên tiếp nên trong 2 số này sẽ có 1 số chẵn và 1 số lẻ.

$\Rightarrow (n+7)(n+8)\vdots 2$

$\Rightarrow (n+3)(n+7)(n+8)\vdots 2(1)$

Lại có:

Nếu $n\vdots 3\Rightarrow n+3\vdots 3\Rightarrow (n+3)(n+7)(n+8)\vdots 3$

Nếu $n$ chia 3 dư 1 thì $n+8\vdots 3\Rightarrow (n+3)(n+7)(n+8)\vdots 3$

Nếu $n$ chia 3 dư 2 thì $n+7\vdots 3\Rightarrow (n+3)(n+7)(n+8)\vdots 3$

Vậy $(n+3)(n+7)(n+8)\vdots 3(2)$

Từ $(1); (2)$ mà $(2,3)=1$ nên $(n+3)(n+7)(n+8)\vdots 6$

+) Giả sử n là số chẵn

Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 2

=> n(n+)(2n+1) chia hết cho 2

+) Giả sử n là số lẻ

Nếu n là số lẻ thì n+1 là số chẵn và chia hết cho 2

=> n(n+1)(2n+1) chia hết cho 2

<=> n(n+1)(2n+1) chia hết cho 2 với mọi n thuộc Z     (1)

Vì n thuộc Z nên n có dạng 3k;3k+1 và 3k+2

(+) Với n=3k

=> n chia hết cho 3 => n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3

(+) Với n=3k+1

=> 2n+1 = 2.(3k+1)+1 = 6k+2+1 = 6k+3 chia hết cho 3

=> n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3

(+) Với n=3k+2

=> n+1 = 3k+2+1 = 3k+3 chia hết cho 3

=> n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3

<=> n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3 với mọi n thuộc Z    (2)

Từ (1) và (2) => n(n+1)(2n+1) chia hết cho 2.3 ( vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau )

                     => n(n+1)(2n+1)  chia hết cho 6 

=> ĐPCM

__HT__ Merry Christmas__

Đặt B = n³ - 13n = n³ - n -12n = n(n - 1)(n + 1) - 12n 

Ta có : Trong 3 số nguyên liên tiếp tồn tại ít nhất 1 số chẵn và tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3 nên tích của 3 số đó chia hết cho 2 và

chia hết cho 3 mà (2;3) = 1 nên tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 

=> n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 6 mà 12n chia hết cho 6 

=> n³ - n chia hết cho 6 

jh,i,uil

a; (n + 10)(n + 15)

+ Nếu n là số chẵn ta có: n + 10 ⋮ 2 ⇒ (n + 10)(n + 15) ⋮ 2

+ Nếu n là số lẻ ta có: n + 15 là số chẵn 

⇒ (n + 15) ⋮ 2 ⇒ (n + 10)(n + 15) ⋮ 2 

Từ những lập luận trên ta có:

A = (n + 10)(n + 15) ⋮ 2 ∀ n \(\in\) N

     n^2.(n+1) + 2n.(n+1)

=(n+1). (n^2 + 2n)

= (n+1).n.(n+2) chia hết cho 6 (tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6)

n².(n + 1) + 2n.(n + 1) = (n² + 2n)(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)

Vì n(n + )(n + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3.

=> Tích n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2 và 3.

Mà (2,3) = 1

=> n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6

=> n².(n+1)+2n.(n+1) chia hết cho 6