Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + 2y + 3z = 3
Tìm giá trị lớn nhất của \(Q=\frac{88y^3-x^3}{2xy+16y^2}+\frac{297z^3-8y^3}{6yz+36z^2}+\frac{11x^3-27z^3}{3xz+4x^2}\)
x,y,z dương ,x+2y+3z=3
tìm GTLN của Q=\(\frac{88y^3-x^3}{2xy+16y^2}+\frac{297z^3-8y^3}{6zy+36z^2}+\frac{11x^3-27z^3}{3xz+4x^2}\)
Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+2y+3z=6\end{matrix}\right.\). Tìm GTLN của
\(P=\frac{40y^3-x^3}{2xy+12y^2}+\frac{135z^3-8y^3}{6yz+27z^2}+\frac{5x^3-27z^3}{3zx+3x^2}\)
Đặt \(\left(x;2y;3z\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=6\)
\(P=\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3-a^2b-ab^2+b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự: \(\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}\le2c-b\) ; \(\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le2a-c\)
Cộng vế với vế: \(P\le a+b+c=6\)
\(P_{max}=6\) khi \(a=b=c=2\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;\frac{2}{3}\right)\)
UCT mở rộng: ta sẽ đi tìm m;n sao cho: \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le ma+nb\)
\(\Leftrightarrow a^3+ma^2b+\left(3m+n\right)ab^2+\left(3n-5\right)b^3\ge0\) (1)
\(\Leftrightarrow x^3+m.x^2+\left(3m+n\right)x+\left(3n-5\right)\ge0\) với \(x=\frac{a}{b}\)
Dự đoán rằng sẽ phân tích về dạng \(\left(a-b\right)^2.P\left(a;b\right)\) hay \(\left(x-1\right)^2P\left(x\right)\)
Do đó (1) phải có nghiệm \(x=1\)
\(\Rightarrow4m+4n-4=0\Rightarrow n=1-m\)
Thay vào: \(x^3+mx^2+\left(2m+1\right)x-3m-2\ge0\)
Hoocne hạ bậc: \(\left(x-1\right)\left(x^2+\left(m+1\right)x+3m+2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+\left(m+1\right)x+3m+2\) cũng có 1 nghiệm \(x=1\)
\(\Rightarrow4m+4=0\Rightarrow m=-1\Rightarrow n=2\)
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+2y+3z=3\end{matrix}\right.\)
Tìm MaxP biết:
\(P=\dfrac{88y^3-x^3}{2xy+16y^2}+\dfrac{297z^3-8y^3}{6yz+36z^2}+\dfrac{11x^3-27z^3}{3xz+4x^2}\)
Đặt 2y=a, 3z=b \(\Rightarrow x+a+b=3\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{11a^3-x^3}{ax+4a^2}+\dfrac{11b^3-a^3}{ab+4b^2}+\dfrac{11x^3-b^3}{bx+4x^2}\)
Ta chứng minh bđt sau:
\(\dfrac{11a^3-x^3}{ax+4a^2}\le3a-x\Leftrightarrow11a^3-x^3\le\left(3a-x\right)\left(ax+4a^2\right)\Leftrightarrow11a^3-x^3\le12a^3+3a^2x-ax^2-4a^2x\Leftrightarrow a^3-a^2x-ax^2+x^3\ge0\Leftrightarrow a^2\left(a-x\right)-x^2\left(a-x\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-x\right)^2\left(a+x\right)\ge0\left(luondung\right)\)tương tự:
\(\dfrac{11x^3-b^3}{bx+4x^2}\le3x-b,\dfrac{11b^3-a^3}{ab+4b^2}\le3b-a\)
\(\Rightarrow P\le3\left(x+a+b\right)-\left(a+b+x\right)=2\left(a+b+x\right)=2.3=6\)
\(MaxP=6\Leftrightarrow x=1,y=\dfrac{1}{2},z=\dfrac{1}{3}\)
Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn: \(x+2y+3z=2\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(S=\sqrt{\frac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\frac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\frac{3xz}{3xz+4y}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=a\\2y=b\\3z=c\end{cases}}\left(a;b;c>0\right)\Rightarrow a+b+c=2\)
Khi đó \(S=\Sigma\sqrt{\frac{\frac{ab}{2}}{\frac{ab}{2}+c}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}\)
\(=\Sigma\sqrt{\frac{ab}{ab+bc+ca+c^2}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
Áp dụng bđt Cô-si có
\(S\le\frac{\Sigma\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)}{2}=\frac{3}{2}\)
Anh ơi năm nay e lên lớp 9 và cũng bắt đầu làm quen với dạng bất đẳng thức , a cho em hỏi mấy cái chữ M nằm ngang là gì thế ạ ? mong anh giải đáp giúp e
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z=20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}\)
\(M=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}\)
\(=\left(\frac{3}{x}+\frac{3x}{4}\right)+\left(\frac{9}{2y}+\frac{y}{2}\right)+\left(\frac{4}{z}+\frac{z}{4}\right)+\left(\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{3z}{4}\right)\)
\(\ge13\)
Dấu "=" xảy ra tại x=2;y=3;z=4
Để ý điểm rơi mà làm bạn :)
Quan trọng lại việc tìm điểm rơi như thế nào?
Another Way:
\(M=\frac{3yz\left(x-2\right)^2+2zx\left(y-3\right)^2+xy\left(z-4\right)^2}{4xyz}+13\ge13\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+2y+3z=2
Tìm gía trị nhỏ nhất của S=\(\sqrt{\frac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\frac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\frac{3xz}{3xz+4y}}\)
Giups em hiểu vs ạ
1, Cho hai số dương x,y thỏa mãn x+y=1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
2, Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}=6\) . Cmr : \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\)
Câu 1:
\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)
\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1/2
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)
CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
\(\text{Với x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 1/x+1/y+1/z=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức}:P=\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{2y^2+z^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{2z^2+x^2+3}}\)
Ta có \(\left(2x^2+y^2+3\right)\left(2+1+3\right)\ge\left(2x+y+3\right)^2\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{2x+y+3}\)
Mà \(\frac{1}{2x+y+3}=\frac{1}{x+x+y+1+1+1}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+3\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{36}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+3\right)\)
Khi đó
\(P\le\frac{\sqrt{6}}{36}\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}+9\right)=\frac{\sqrt{6}}{36}.18=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Vậy \(MaxP=\frac{\sqrt{6}}{2}\)khi x=y=z=1
dễ vãi mà ko giải đc NGU
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH:\(\hept{\begin{cases}x^2+2y^2=4x-1\\y^2+2x^2=4y-1\end{cases}}\)
Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{x^3+z^3+1}\)
1. \(\hept{\begin{cases}x^2+2y^2=4x-1\\y^2+2x^2=4y-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x^2+2y^2\right)-\left(y^2+2x^2\right)=4x-1-\left(4y-1\right)\\\left(x^2+2y^2\right)+\left(y^2+2x^2\right)=4x-1+4y-1\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y^2-x^2=4x-4y\left(1\right)\\3\left(x^2+y^2\right)=4\left(x+y\right)-2\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ ( 1 ) \(\Rightarrow\left(y-x\right)\left(x+y\right)-4\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(x+y+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x+y=-4\end{cases}}\)
Với x = y thì thay vào ( 2 ), ta được : \(6x^2-8x+2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=\frac{1}{3}\end{cases}}\)
Với x + y = -4 thay vào ( 2 ), ta được : \(3\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]=4.\left(-4\right)-2\)
\(\Leftrightarrow-6xy=-66\Leftrightarrow xy=11\)
Ta được hệ phương trình : \(\hept{\begin{cases}x+y=-4\\xy=11\end{cases}}\) mà hệ phương trình này vô nghiệm
2. Ta cần chứng minh BĐT : \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) với a,b > 0
Thật vậy, xét hiệu :
\(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)=\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\)\(\ge\)0
Áp dụng BĐT trên, ta có : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
Tương tự : ....
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{x^3+z^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}=1\)
Vậy GTLN của biểu thức là 1 khi x = y = z = 1