Đặt \(\left(x;2y;3z\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=6\)
\(P=\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3-a^2b-ab^2+b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự: \(\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}\le2c-b\) ; \(\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le2a-c\)
Cộng vế với vế: \(P\le a+b+c=6\)
\(P_{max}=6\) khi \(a=b=c=2\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;\frac{2}{3}\right)\)
UCT mở rộng: ta sẽ đi tìm m;n sao cho: \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le ma+nb\)
\(\Leftrightarrow a^3+ma^2b+\left(3m+n\right)ab^2+\left(3n-5\right)b^3\ge0\) (1)
\(\Leftrightarrow x^3+m.x^2+\left(3m+n\right)x+\left(3n-5\right)\ge0\) với \(x=\frac{a}{b}\)
Dự đoán rằng sẽ phân tích về dạng \(\left(a-b\right)^2.P\left(a;b\right)\) hay \(\left(x-1\right)^2P\left(x\right)\)
Do đó (1) phải có nghiệm \(x=1\)
\(\Rightarrow4m+4n-4=0\Rightarrow n=1-m\)
Thay vào: \(x^3+mx^2+\left(2m+1\right)x-3m-2\ge0\)
Hoocne hạ bậc: \(\left(x-1\right)\left(x^2+\left(m+1\right)x+3m+2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+\left(m+1\right)x+3m+2\) cũng có 1 nghiệm \(x=1\)
\(\Rightarrow4m+4=0\Rightarrow m=-1\Rightarrow n=2\)
