Lời giải:

1.

$\widehat{MDC}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\Leftrightarrow \widehat{BDC}=90^0$

Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên là tgnt.

Do $ABCD$ nội tiếp nên $\widehat{BCA}=\widehat{BDA}$

Mà $\widehat{BDA}=\widehat{MCS}$ (do $MDSC$ nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{BCA}=\widehat{MCS}$

$\Rightarrow CA$ là phân giác $\widehat{BCS}$

2.

Gọi $T$ là giao điểm của $BA$ và $EM$

Xét tam giác $BTC$ có $TE\perp BC$ (do $\widehat{MEC}=90^0$) và $CA\perp BT$ và $TE, CA$ giao nhau tại $M$ nên $M$ là trực tâm tam giác $BTC$

$\Rightarrow BM\perp TC$.

Mà $BM\perp DC$ nên $TC\parallel DC$ hay $T,D,C$ thẳng hàng

Do đó $BA, EM, DC$ đồng quy tại $T$

3.

Vì $ABCD$ nt nên $\widehat{MAD}=\widehat{CAD}=\widehat{DBC}=\widehat{MBE}$

Dễ cm $BAME$ nội tiếp cho $\widehat{A}+\widehat{E}=90^0+90^0=180^0$ nên $\widehat{MBE}=\widehat{EAM}$

Do đó: $\widehat{MAD}=\widehat{EAM}$ nên $AM$ là tia phân giác $\widehat{EAM}(*)$

Mặt khác:

Cũng do $MECD,ABCD$ nội tiếp nên:

$\widehat{ADM}=\widehat{ADB}=\widehat{ACB}=\widehat{MCE}=\widehat{MDE}$

$\Rightarrow DM$ là tia phân giác $\widehat{ADE}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow M$ là tâm đường tròn nội tiếp $ADE$.

Hình vẽ:

  ⇒ A ∈ đường tròn đường kính BC.

D ∈ đường tròn đường kính MC

⇒ D ∈ đường tròn đường kính BC

⇒ A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC

hay tứ giác ABCD nội tiếp.

Xét (O) có

ΔCDM nội tiếp

CM là đường kính

DO đó: ΔCDM vuông tại D

Xét tứ giác ABCD có 

\(\widehat{CDB}=\widehat{CAB}=90^0\)

Do đó: ABCD là tứ giác nội tiếp

b: \(\widehat{BCA}=\widehat{ADB}\)

mà \(\widehat{ADB}=\widehat{KCA}\)

nên \(\widehat{BCA}=\widehat{KCA}\)

hay CA là tia phân giác của góc KCB

Xét (O) có

ΔCDM nội tiếp

CM là đường kính

DO đó: ΔCDM vuông tại D

Xét tứ giác ABCD có 

ˆCDB=ˆCAB=900CDB^=CAB^=900

Do đó: ABCD là tứ giác nội tiếp

b: ˆBCA=ˆADBBCA^=ADB^

mà ˆADB=ˆKCAADB^=KCA^

nên ˆBCA=ˆKCABCA^=KCA^

hay CA là tia phân giác của góc KCB

a)  ⇒ A ∈ đường tròn đường kính BC.

D ∈ đường tròn đường kính MC

⇒ D ∈ đường tròn đường kính BC

⇒ A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC

hay tứ giác ABCD nội tiếp.

b) Xét đường tròn đường kính BC:

 đều là góc nội tiếp chắn cung 

c) + Trong đường tròn đường kính MC:

 đều là các góc nội tiếp cùng chắn cung 

+ Trong đường tròn đường kính BC:

 đều là các góc nội tiếp chắn cung 

a: Xét (O) có

ΔMDC nội tiếp

MC là đường kính

=>ΔMDC vuông tại D

góc CAB=góc CDB=90 đọ

=>ABCD nội tiếp

b: góc SCA=góc ADB

góc ADB=góc ACB

=>góc SCA=góc ACB

=>CA là phân giác của góc SCB