4.

\(ab+bc+ca=3abc\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=3\)

\(S=\sum\dfrac{\dfrac{1}{y^2}}{\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)}=\sum\dfrac{x^3}{x^2+y^2}=\sum\left(x-\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}\right)\)

\(S\ge\sum\left(x-\dfrac{xy^2}{2xy}\right)=\sum\left(x-\dfrac{y}{2}\right)=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{3}{2}\)

\(S_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

5.

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{2}{b};\dfrac{3}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=3\)

Đặt vế trái là P

\(P=\dfrac{z^3}{x^2+z^2}+\dfrac{x^3}{x^2+y^2}+\dfrac{y^3}{y^2+z^2}\)

Quay lại dòng 3 của bài số 4

6.

Do a;b;c không âm, ta có:

\(b^2\left(b-1\right)^2\left(b+2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow b^5-3b^3+2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow b^5-3b^3+2b^2-6\ge-6\)

\(\Leftrightarrow-\left(3-b^2\right)\left(b^3+2\right)\ge-6\)

\(\Leftrightarrow6\ge\left(3-b^2\right)\left(b^3+2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{b^3+2}\ge\dfrac{3-b^2}{6}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b^3+2}\ge\dfrac{a\left(3-b^2\right)}{6}\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{c^3+2}\ge\dfrac{b\left(3-c^2\right)}{6}\) ; \(\dfrac{c}{a^3+2}\ge\dfrac{c\left(3-a^2\right)}{6}\)

Cộng vế: \(P\ge\dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{6}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{6}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(b=mid\left\{a;b;c\right\}\)

\(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\)

\(\Leftrightarrow ab^2+ca^2\le a^2b+abc\)

\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2+abc\le bc^2+a^2b+2abc=b\left(a+c\right)^2=4b\left(\dfrac{a+c}{2}\right)\left(\dfrac{a+c}{2}\right)\le\dfrac{4}{27}\left(a+b+c\right)^3=4\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{6}=\dfrac{5}{6}\)

5.

\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}=\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{a}{a+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{b}{b+\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

\(\dfrac{c}{c+\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Cộng vế với vế:

\(P\le\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

6.

\(P=\dfrac{a}{1+b-a}+\dfrac{b}{1+c-b}+\dfrac{c}{1+a-c}\)

Thay \(1=a+b+c\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{a}{2b+c}+\dfrac{b}{2c+a}+\dfrac{c}{2a+b}\)

\(P=\dfrac{a^2}{2ab+ac}+\dfrac{b^2}{2bc+ab}+\dfrac{c^2}{2ac+bc}\)

\(P\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3ab+3bc+3ca}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

7.

\(T=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)

\(T\ge\dfrac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)^2=\dfrac{1}{3}\)

\(T_{min}=\dfrac{1}{3}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Thầy Nguyễn Việt Lâm ơi giúp em mấy bài này với.Em sắp phải nộp rồi ạ  - Hoc24

đùa người 

không

1.

\(\left(x+y\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}.2x+\dfrac{1}{3}.3y\right)^2\le\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}\right)\left(4x^2+9y^2\right)=\dfrac{169}{36}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{13}{6}\le x+y\le\dfrac{13}{6}\)

Dấu "=" lần lượt xảy ra tại \(\left(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{2}{3}\right)\) và \(\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{2}{3}\right)\)

2.

\(\left(y-2x\right)^2=\left(\dfrac{1}{4}.4y+\left(-\dfrac{1}{3}\right).6x\right)^2\le\left(\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{9}\right)\left(16y^2+36x^2\right)=\dfrac{25}{16}\)

\(\Rightarrow\left|y-2x\right|\le\dfrac{5}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\mp\dfrac{2}{5};\pm\dfrac{9}{20}\right)\)

3.

\(B^2=\left(6.\sqrt{x-1}+8\sqrt{3-x}\right)^2\le\left(6^2+8^2\right)\left(x-1+3-x\right)=200\)

\(\Rightarrow B\le2\sqrt{10}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{\sqrt{x-1}}{6}=\dfrac{\sqrt{3-x}}{8}\Leftrightarrow x=\dfrac{43}{25}\)

\(B=6\sqrt{x-1}+6\sqrt{3-x}+2\sqrt{3-x}\ge6\sqrt{x-1}+6\sqrt{3-x}\)

\(B\ge6\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\right)\ge6\sqrt{x-1+3-x}=6\sqrt{2}\)

\(B_{min}=6\sqrt{2}\) khi \(\sqrt{3-x}=0\Rightarrow x=3\)

4.

\(49=\left(3a+4b\right)^2=\left(\sqrt{3}.\sqrt{3}a+2.2b\right)^2\le\left(3+4\right)\left(3a^2+4b^2\right)\)

\(\Rightarrow3a^2+4b^2\ge\dfrac{49}{7}=7\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

5.

\(\left(y-2x\right)^2=\left(\dfrac{1}{4}.4y-\dfrac{1}{3}.6x\right)^2\le\left(\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{9}\right)\left(16y^2+36x^2\right)=\dfrac{25}{16}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{5}{4}\le y-2x\le\dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{5}{4}+5\le y-2x+5\le\dfrac{5}{4}+5\)

\(\Rightarrow\dfrac{15}{4}\le y-2x+5\le\dfrac{25}{4}\)

\(C_{min}=\dfrac{15}{4}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{2}{5};-\dfrac{9}{20}\right)\)

\(C_{max}=\dfrac{25}{4}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(-\dfrac{2}{5};\dfrac{9}{20}\right)\)

Lần sau lưu ý đăng câu hỏi 1 lần thôi, em đăng nhiều lần lặp lại sẽ bị xóa + ko ai giải cho đâu

(O) và (D) cắt nhau tại A và M \(\Rightarrow AM\perp OD\)

\(\Rightarrow\widehat{AOD}=\widehat{ABN}\) (cùng phụ \(\widehat{BAM}\))

\(\Rightarrow OD||BN\) (góc đồng vị bằng nhau)

\(\Rightarrow OBND\) là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song)

\(\Rightarrow OB=DN\), mà \(\left\{{}\begin{matrix}AB=DC\\OB=\dfrac{1}{2}AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow OB=\dfrac{1}{2}CD\Rightarrow DN=\dfrac{1}{2}DC\Rightarrow N\) là trung điểm CD

Like Like  cho mình nhé !!

Sao z , ko mún lm CTV nữa àk Hạo

Why ?

???

tham khảo:

Thầy giáo con đôi khi nóng nẩy, không phải là không có cớ. Đã bao nhiêu năm, người khó nhọc dạy trẻ. Trừ một vài đứa có nghĩa và ở thuỷ chung với thầy, còn phần đông là những kẻ vong ân, chúng đã phụ lòng tốt của người và không nghĩ đến công lao của người. Hết thảy bọn chúng con đều giê cho thầy những mối ưu phiền hơn là những sự như ý. Một người hiền lành nhất trên trái đất này, ở vào địa vị thầy, cũng phải đâm ra tức giận. Lắm phen, trong mình khó xử, thầy cũng phải gắng đi làm vì không đến nỗi phải nghỉ, con có biết đâu ! Thầy gắt vì thầy đau, nhất là những khi thầy thấy các con biết rõ là thấy yếu lại thừa cơ nghịch ngợm thì thầy đau khổ biết dường nào ! Con ơi ! Phải kính yêu thầy giáo con. Hãy yêu thầy vì cha yêu thầy và trọng thầy . Hãy yêu thầy, vì thầy đã hy sinh đời thầy để gây hạnh phúc cho biết bao nhiêu đứa trẻ sẽ quên thầy. Hãy yêu thầy vì thầy mở mang trí tuệ và giáo hoá tâm hồn cho con. Rồi đây, con sẽ trưởng thành, thầy cùng cha sẽ không còn ở trên đời này nữa, lúc ấy con sẽ thấy hình ảnh thầy thường hiển hiện ở cạnh cha, lúc ấy con sẽ thấy nét đau đớn và lao khổ trên mặt thầy làm cho con phải cực lòng mặc dầu đã cách hàng 30 năm. Rồi con tự thẹn và con ân hận đã không yêu người và trái đạo với người. 

Chỉ cách bấm máy tính ấy vì bài này giải bằng máy tính