Ta có hình vẽ:

a) Vì M là trung điểm của AB nên AM = BM = \(\frac{AB}{2}\)

Xét Δ AMK và Δ BMC có:

AM = BM (cmt)

AMK = BMC (đối đỉnh)

MK = MC (gt)

Do đó, Δ AMK = Δ BMC (c.g.c) (đpcm)

b) Vì N là trung điểm của AC nên AN = NC

Xét Δ ANI và Δ CNB có:

AN = NC (cmt)

ANI = CNB (đối đỉnh)

NI = NB (gt)

Do đó, Δ ANI = Δ CNB (c.g.c)

=> AI = BC (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

c) Vì Δ AMK = Δ BMC (câu a) => AKM = MCB (2 góc tương ứng)

Mà AKM và MCB là 2 góc so le trong nên AK // BC (1)

Vì Δ ANI = Δ CNB (câu b) => IAN = NBC (2 góc tương ứng)

Mà IAN và NBC là 2 góc so le trong nên AI // BC (2)

Từ (1) và (2) => AK và AI trùng nhau hay 3 điểm I, A, K thẳng hàng (3)

Có: Δ AMK = Δ BMC (câu a) => AK = BC (2 cạnh tương ứng)

Mà AI = BC (câu b) => AK = AI (4)

Từ (3) và (4) => A là trung điểm của IK (đpcm)

2

a: Xét ΔMAB và ΔMDC có

\(\widehat{MBA}=\widehat{MCD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

MB=MC

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)

Do đó: ΔMAB=ΔMDC

=>MA=MD

=>M là trung điểm của AD

b: Sửa đề; NK=NB

Xét tứ giác ABCK có

N là trung điểm chung của AC và BK

=>ABCK là hình bình hành

=>CK=AB

c: ABCK là hình bình hành

=>CK//AB

mà CD//AB
và CD,CK có điểm chung là C

nên K,C,D thẳng hàng

Bài 2

a) Do BD là tia phân giác của ∠ABC (gt)

⇒ ∠ABD = ∠EBD

Xét ∆ABD và ∆EBD có:

AB = BE (gt)

∠ABD = ∠EBD (cmt)

BD là cạnh chung

⇒ ∆ABD = ∆EBD (c-g-c)

b) Do ∆ABD = ∆EBD (cmt)

⇒ ∠BAD = ∠BED (hai góc tương ứng)

⇒ ∠BED = 90⁰

⇒ DE ⊥ BE

⇒ DE ⊥ BC

c) Do DE ⊥ BC (cmt)

⇒ ∠DEC = 90⁰

⇒ ∆DEC vuông tại E

Do ∆ABD = ∆EBD (cmt)

⇒ AD = DE (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông: ∆ADK và ∆DEC có:

AD = DE (cmt)

∠ADK = ∠EDC (đối đỉnh)

⇒ ∆ADK = ∆DEC (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

⇒ AK = EC (hai cạnh tương ứng)

Ta có:

AB = BE (gt)

AK = EC (cmt)

⇒ AB + AK = BE + EC

⇒ BK = BC

Bài 1

 a) Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AM là cạnh chung

AB = AC (gt)

MB = MC (gt)

⇒ ∆ABM = ∆ACM (c-c-c)

b) Do M là trung điểm của BC

⇒ BC = 2MC

Xét ∆ANK và ∆BNC có:

AN = BN (gt)

NK = NC (gt)

∠ANK = ∠BNC (đối đỉnh)

⇒ ∆ANK = ∆BNC (c-g-c)

⇒ AK = BC (hai cạnh tương ứng)

Mà BC = 2MC (cmt)

⇒ AK = 2MC

c) Do ∆ABM = ∆ACM (cmt)

⇒ ∠AMB = ∠AMC (hai góc tương ứng)

Mà ∠AMB + ∠AMC = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠AMB = ∠AMC = 180⁰ : 2 = 90⁰

⇒ AM ⊥ BC

⇒ ∆AMB vuông tại M

⇒ ∠ABM + ∠BAM = 90⁰ (1)

Do ∆ANK = ∆BNC (cmt)

⇒ ∠KAN = ∠NBC (hai góc tương ứng)

⇒ ∠KAN = ∠ABM (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∠MAK = ∠KAN + ∠BAM = 90⁰

Bài 2:

a: Xét ΔABDvà ΔEBD có

BA=BE

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

BD chung

Do đó: ΔBAD=ΔBED

b: ΔBAD=ΔBED

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^0\)

=>DE\(\perp\)BC

c: Xét ΔBEK vuông tại E và ΔBAC vuông tại A có

BE=BA

\(\widehat{EBK}\) chung

Do đó: ΔBEK=ΔBAC

=>BK=BC

Ta có hình vẽ:

Vì CN = 2CI nên CI = IN (đã kí hiệu trên hình)

Vì BK = 2BI nên BI = IK (đã kí hiệu trên hình)

a/ Xét tam giác AMB và tam giác AMC có:

AM: cạnh chung

AB = AC (GT)

BM = MC (GT)

=> tam giác AMB = tam giác AMC (c.c.c)

b/ Xét tam giác IMC và tam giác IAN có:

CI = IN (đã chứng minh đầu bài)

AI = IM (GT)

\(\widehat{AIN}\)=\(\widehat{MIC}\) (đối đỉnh)

=> tam giác IMC = tam giác IAN (c.g.c)

=> \(\widehat{ANI}\)=\(\widehat{ICM}\) (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này đang ở vị trí so le trong

=> AN//BC (đpcm)

c/ Xét tam giác IMB và tam giác IAK có:

BI = IK (đã chứng minh đầu bài)

AI = IM (GT)

\(\widehat{BIM}\)=\(\widehat{KIA}\) (đối đỉnh)

=> tam giác IMB = tam giác IAK (c.g.c)

=> \(\widehat{AKI}\)=\(\widehat{IBM}\)(2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này đang ở vị trí so le trong

=> AK//BC

Ta có: AN // BC

AK // BC

=> AN trùng AK

hay N,A,K thẳng hàng

a) Xét tam giác AMB và tam giác AMC có :

AB = AC (gt)

AM : cạnh chung

MB = MC (gt)

=> tam giác AMB = tam giác AMC ( c.c.c) (đpcm)

mình k biết vẽ hình bạn thông cảm

a: AM=6-2=6cm

AN=12-3=9cm

=>AM/AB=AN/AC

=>MN//BC

b: Xet ΔAKC có NI//KC

nên NI/KC=AI/AK

Xét ΔABK có MI//BK

nên MI/BK=AI/AK

=>NI/KC=MI/BK

c: NI/KC=MI/BK

KC=KB

=>NI=MI

=>I là tđ của MN

a/ xet tam giác AMK và tam giác CMB có:

AM=MC (GT)

góc AMK= góc CMB (đối đỉnh)

KM=MB(gt)

=> tam giac AMK= tam giác CMB (c.g.c)

b/ta có tam giác AMK= tam giác CMB (cmt)

=>góc K = góc B ( Hai góc tương ứng) mà lại có vị trí so le trong

=> AF// BC

=>AK=BC(2 cạnh tương ứng )

vì AK=BC và FA=AK

=>FA=BC(Cùng bằng AK)

Cho tam giác ABC có góc A=60 độ. Dựng ra phía ngoài tam giác đó khác các tam giác đều ABM và ACN

a) C: M,N,A thẳng hàng

b) CM: BN=CM

c) Gọi O là giao điểm của BN và CM. Tính góc BOC