Lời giải:

Ta có: \(11y^2=4140-x^2\leq 4040\) do $x^2\geq 0$

\(\Rightarrow y^2\leq \frac{4040}{11}\)

\(y\leq \sqrt{\frac{4040}{11}}< 20\). Mà $y$ là số nguyên dương nên $y\in \left\{1;2;3;...;19\right\}$

Thử từng giá trị của $y$ trên vào tìm $x$ ta thu được các cặp $x,y$ thỏa mãn là:

$(x,y)=(64,2); (57, 9); (53,11); (31,17); (24,18); (13,19)$

Lời giải:

Ta có: \(11y^2=4140-x^2\leq 4040\) do $x^2\geq 0$

\(\Rightarrow y^2\leq \frac{4040}{11}\)

\(y\leq \sqrt{\frac{4040}{11}}< 20\). Mà $y$ là số nguyên dương nên $y\in \left\{1;2;3;...;19\right\}$

Thử từng giá trị của $y$ trên vào tìm $x$ ta thu được các cặp $x,y$ thỏa mãn là:

$(x,y)=(64,2); (57, 9); (53,11); (31,17); (24,18); (13,19)$

Ta có :

 Với x chẵn => x = 2 => 2² + 117 = y²

  => 121 = y² => 11² = y² => y = 11 (thoả mãn)

Với x lẻ => x² cũng lẻ => x² + 117 chẵn và x > 2

=> y² chẵn => y = 2

Mà x < y => ko thoả mãn

Vậy x = 2 ; y = 11

Nếu x, y không chia hết cho 3 thì x² chia cho 3 dư 1, do đó \(\left(x^2+2\right)^2\) chia hết cho 3.

Mà \(2y^4+11y^2+x^2y^2+9\) không chia hết cho 3 nên suy ra vô lí.

Do đó x = 3 hoặc y = 3 (Do x, y là các số nguyên tố).

Với x = 3 ta có \(2y^4+20y^2+9=121\Leftrightarrow y^4+10y^2-56=0\Leftrightarrow\left(y^2-4\right)\left(y^2+14\right)=0\Leftrightarrow y=2\) (Do y là số nguyên tố).

Với y = 3 ta có:

\(\left(x^2+2\right)^2=9x^2+270\Leftrightarrow x^4-5x^2-266=0\Leftrightarrow\left(x^2+14\right)\left(x^2-19\right)=0\). Không tồn tại số nguyên tố x thoả mãn.

Vậy x = 2; y = 3.

Giả sử (x;y) là cặp số nguyên dương cần tìm. Khi đó ta có: 
(xy-1) I (x^3+x) => (xy-1) I x.(x^2+1) (1) 
Do (x; xy-1) =1 ( Thật vậy: gọi (x;xy-1) =d => d I x => d I xy => d I 1). 
Nên từ (1) ta có: 
(xy-1) I (x^2+1) 
=> (xy-1) I (x^2+1+xy -1) => (xy-1) I (x^2+xy) => (xy-1) I x.(x+y) => (xy-1) I (x+y) 
Điều đó có nghĩa là tồn tại z ∈ N* sao cho: 
x+y = z(xy-1) <=> x+y+z =xyz (2) 

[Đây lại có vẻ là 1 bài toán khác] 
Do vai trò bình đẳng nên ta giả sử: x ≥ y ≥ z. 
Từ (2) ta có: x+y+z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz ≥ z^2 => z=1 
=> 3 ≥ y => y ∈ {1;2;3} 
Nếu y=1: x+2 =x (loại) 
Nếu y=2: (2) trở thành x+3 =2x => x=3 
Nếu y=3: x+4 = 3x => x=2 (loại vì ta có x≥y) 
Vậy khi x ≥ y ≥ z thì (2) có 1 nghiệm (x;y;z) là (3;2;1) 
Hoán vị vòng quanh được 6 nghiệm là: .....[bạn tự viết nhé] 

Vậy bài toán đã cho có 6 nghiệm (x;y) là : .... [viết y chang nhưng bỏ z đi]

 Giả sử (x;y) là cặp số nguyên dương cần tìm. Khi đó ta có: 
(xy-1) I (x^3+x) => (xy-1) I x.(x^2+1) (1) 
Do (x; xy-1) =1 ( Thật vậy: gọi (x;xy-1) =d => d I x => d I xy => d I 1).
Nên từ (1) ta có: 
(xy-1) I (x^2+1) 
=> (xy-1) I (x^2+1+xy -1) => (xy-1) I (x^2+xy) => (xy-1) I x.(x+y) => (xy-1) I (x+y) 
Điều đó có nghĩa là tồn tại z ∈ N* sao cho: 
x+y = z(xy-1) <=> x+y+z =xyz (2) 

[Đây lại có vẻ là 1 bài toán khác] 
Do vai trò bình đẳng nên ta giả sử: x ≥ y ≥ z. 
Từ (2) ta có: x+y+z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz ≥ z^2 => z=1 
=> 3 ≥ y => y ∈ {1;2;3} 
Nếu y=1: x+2 =x (loại) 
Nếu y=2: (2) trở thành x+3 =2x => x=3 
Nếu y=3: x+4 = 3x => x=2 (loại vì ta có x≥y) 
Vậy khi x ≥ y ≥ z thì (2) có 1 nghiệm (x;y;z) là (3;2;1) 
Hoán vị vòng quanh được 6 nghiệm là: .....[bạn tự viết nhé] 

Vậy bài toán đã cho có 6 nghiệm (x;y) là : .... [viết y chang nhưng bỏ z đi]

Xét x= 1 => \(\dfrac{2}{y-1}\in\mathbb N\), từ đó có \(y=2\vee y=3\)

Xét y=1 => \(\dfrac{x^3+x}{x-1}=x^2+x+2+\dfrac{2}{x-1}\in\mathbb N\), từ đó có \(x=2\vee x=3\)

Xét \(x\ge 2\) hoặc \(y\ge 2\) . Ta có : \((x,xy-1)=1\). Do đó :

\(xy-1|x^3+x\Rightarrow xy-1|x^2+1\Rightarrow xy-1|x+y\)

=> \(x+y\ge xy-1\Rightarrow (x-1)(y-1)\le 2\). Từ đó có \((x-1)(y-1)=1\ \vee (x-1)(y-1)=2\) 

=> x = y = 2 ( loại ) hoặc x = 2 ; y = 3 hoặc x = 3 ; y= 2

Vậy các cặp số ( x;y ) thỏa mãn là (1;2),(2;1),(1;3),(3;1),(2;3),(3;2)

x(3y+1)+y=13

3x(3y+1)+3y=39

3x(3y+1)+3y+1=39+1
(3x+1)(3y+1)=40

vì 3x+1 và 3y+1 chi 3 dư 1 nên ta có bảng sau:

Kết luận là ok

Bài 2: Giả sử tồn tại x,y nguyên dương t/m đề, khi đó pt cho tương đương:

\(4x^2+4y^2-12x-12y=0\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2+\left(2y+3\right)^2=18\)

Ta thấy: \(18=9+9=3^2+3^2\). Mà x,y thuộc Z⁺ nên \(\hept{\begin{cases}2x+3=3\\2y+3=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\)

Vậy cặp nghiệm nguyên t/m pt là (x;y) = (0;0)

Làm lại bài 2 :v (P/S: Bạn bỏ bài kia đi nhé)

\(4x^2+4y^2-12x-12y=0\Leftrightarrow\left(2x-3\right)^2+\left(2y-3\right)^2=18\)

Ta thấy: \(18=9+9=3^2+3^2\). Mà x,y thuộc Z⁺ nên \(\hept{\begin{cases}2x-3=3\\2y-3=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\y=3\end{cases}}\)

Vậy (x;y) = (3;3)

Do x,y bình đẳng như nhau,giả sử \(x\ge y\)

Khi đó:\(100=x^y+y^x\ge y^y+y^y=2y^y\)

\(\Rightarrow50\ge y^y\)

Với \(y>3\Rightarrow50\ge y^y>y^3\)

\(\Rightarrow4>\sqrt[3]{50}>y\)

\(\Rightarrow3< y< 4\left(KTM\right)\)

\(\Rightarrow y\le3\Rightarrow y\in\left\{1;2;3\right\}\)

Với \(y=1\)

\(\Rightarrow100=x^y+y^x=x+1^x=x+1\)

\(\Rightarrow x=99\left(TM\right)\)

Với \(y=2\)

\(\Rightarrow100=x^2+2^x\)

\(\Rightarrow2^x=100-x^2< 100\)

\(\Rightarrow x< 7\)

Mà x chẵn \(\Rightarrow x\in\left\{2;4;6\right\}\)

Thử vào thấy x=6 thỏa mãn.

Với \(y=3\)

\(\Rightarrow100=x^3+3^x\)

\(\Rightarrow x^3=100-3^x\)

\(\Rightarrow x< 5\)

Mà \(x\ge y\Rightarrow3\le x< 5\)

\(\Rightarrow x=3\left(h\right)x=4\)

Thử vào ta thấy không có x thỏa mãn.

Vậy các cặp số \(\left(x;y\right)\) cần tìm là:\(\left(99;1\right);\left(6;2\right)\) và các hoán vị của chúng

P/S:\(\left(h\right)\) là hoặc.

Ta có : 2 số x và y bình đẳng, không mất tính tổng quát

Các TH :  

+ TH1: x = 1  => 1^y + y¹ = 100 => y + 1 = 100 => y = 99 

           Tìm được : x = 1 ; y = 99

+ TH2: x = 2 => 2^y + y² = 100 => 1 < y < 7  ( Nếu y = 1 thì lại rơi vào TH 1 )

   Nếu : y = 6 => 2⁶ + 6² = 100 ( T/m ) =>  Tìm đc x = 2; y = 6

            y < 6  => 2^y + y² < 100 ( loại )

+ TH3 : x = 3 => 3^y + y³ = 100  => 2 < y < 4 

      Nếu y = 3 => 3³ + 3³ = 54 < 100 ( loại )

+ TH4 : x \(\ge\)4  => 4^y + y⁴ \(\ge\)4⁴ + 4⁴ = 512 > 100  ( y \(\ge\)4 vì nếu y < 4 sẽ rơi vào các TH trước )

       Vậy  ( x ; y ) = ( 1 ; 99 ) ; ( 99 ; 1 ) ; ( 2 ; 6 ) ; ( 6 ; 2 )