\(x^3-y^3=7\left(x-y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=7\left(x-y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+xy+y^2=7\)

Nếu \(y\ge2\Rightarrow x\ge3\Rightarrow x^2+xy+y^2>9>7\) (ktm)

\(\Rightarrow y< 2\Rightarrow y=1\)

\(\Rightarrow x^2+x+1=7\Rightarrow x\)

\(\Leftrightarrow x^3-y^3+7y-7x=0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-7\left(x-y\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-7\right)=0\\ \Leftrightarrow x^2+xy+y^2-7=0\left(x>y\Leftrightarrow x-y>0\right)\\ \Leftrightarrow x^2+xy+y^2=7\)

Vì \(x>y>0\) nên \(x^2< 7\)

Mà \(x\in Z\Leftrightarrow x^2\in\left\{1;4\right\}\)

Với \(x^2=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow y^2+y-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=-3\end{matrix}\right.\\x=-1\Rightarrow y^2-y-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-2\\y=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Với \(x^2=4\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\Rightarrow y^2+2y-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-3\\y=1\end{matrix}\right.\\x=-2\Rightarrow y^2-2y-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy ...(loại mấy TH x,y<0 ra)

hình như mk thấy có phần tương tự trong sbt oán 7 ở phần nào đó thì phải . Bạn về nhà tìm thử xem sau đó mở đáp án ở sau mà coi

Lí luận chung cho cả 3 câu :

Vì GTTĐ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 

a) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+\frac{3}{7}=0\\y-\frac{4}{9}=0\\z+\frac{5}{11}=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-3}{7}\\y=\frac{4}{9}\\z=\frac{-5}{11}\end{cases}}}\)

b)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{2}{5}=0\\x+y-\frac{1}{2}=0\\y-z+\frac{3}{5}=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{5}\\y=\frac{1}{10}\\z=\frac{7}{10}\end{cases}}}\)

c)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y-2,8=0\\y+z+4=0\\z+x-1,4=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2,8\\y+z=-4\\z+x=1,4\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow x+y+y+z+z+x=2,8-4+1,4\)

\(\Rightarrow2\left(x+y+z\right)=0,2\)

\(\Rightarrow x+y+z=0,1\)

Từ đây tìm đc x, y, z

Câu a,b,c tương tự nhau cả

Vì mỗi tuyệt đối lớn hơn hoặc bằng 0 0 nên 3 tuyệt đối cộng lại với nhau =0

Khi và chỉ khi mỗi tuyệt đối =0

\(3x=y\)=>  \(\frac{x}{1}=\frac{y}{3}\)

hay  \(\frac{x}{4}=\frac{y}{12}\)

\(5y=4z\)=>  \(\frac{y}{4}=\frac{z}{5}\)

hay  \(\frac{y}{12}=\frac{z}{15}\)

suy ra:   \(\frac{x}{4}=\frac{y}{12}=\frac{z}{15}\)

đến đây bạn ADTCDTSBN nhé

\(.a.\)

\(\left(x-7\right)^{x+1}-\left(x-7\right)^{x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-7\right)^{x+1}.\left[1-\left(x-7\right)^{10}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}\left(x-7\right)^{x+1}=0\\\left[1-\left(x-7\right)^{10}\right]=0\end{matrix}\right.\)

+ Nếu \(\left(x-7\right)^{x+1}=0\)

\(\Rightarrow x-7=0\)

\(\Rightarrow x=0+7\)

\(\Rightarrow x=7\)

+ Nếu \(1-\left(x-7\right)^{10}=0\)

\(\Rightarrow\left(x-7\right)^{10}=1\)

\(\Rightarrow\left(x-7\right)^{10}=\left(\pm1\right)^{10}\)

\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}x-7=1\\x-7=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=1+7\\x=-1+7\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=8\\x=6\end{matrix}\right.\)

Vậy : \(x\in\left\{6;7;8\right\}\)

\(x^3+3x^2+3x+1+y^3+3y^3+3y+1+x+y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+x+y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)\right)+\left(x+y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y+2=0\)

(phần trong ngoặc \(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\frac{\left(y+1\right)^2}{4}+\frac{3\left(y+1\right)^2}{4}+1\)

\(=\left(x+1-\frac{y+1}{4}\right)^2+\frac{3\left(y+1\right)^2}{4}+1\) luôn dương)

\(\Rightarrow x+y=-2\)

Mà \(xy>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\y< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x>0\\-y>0\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\frac{1}{-x}+\frac{1}{-y}\ge\frac{4}{-\left(x+y\right)}=2\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le-2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=-1\)

2/ \(x;y;z\ne0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{xz+yz+z^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz+yz+z^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{xy+yz+xz+z^2}{xyz\left(x+y+z\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\) dù trường hợp nào thì thay vào ta đều có \(B=0\)

3/ \(\Leftrightarrow mx-2x+my-y-1=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x+y\right)-\left(2x+y+1\right)=0\)

Gọi \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà d đi qua

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+y_0=0\\2x_0+y_0+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=1\end{matrix}\right.\)

Vậy d luôn đi qua \(A\left(-1;1\right)\) với mọi m

(x - 7)^x+1 - (x - 7)^x+1 = 0

<=> 0 = 0

Vậy phương trình có nghiệm với mọi x thuộc R

b/ Chi cần áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau thì ra thôi

dễ mà bạn :))) gáy tí , sai thì thôi

\(P=\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{y^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\)

\(=\frac{x^3\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3\left(1+x\right)}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)\left(1+y\right)}\)

\(=\frac{x^3\left(1+z\right)+y^3\left(1+x\right)+z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^3y^3z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

đến đây áp dụng BĐT phụ ( 1+a ) ( 1+b ) ( 1+c ) >= 8abc 

EZ :)))

nhưng làm thế thì ko bảo toàn đc dấu bất đẳng thức mà

TA LẦN LƯỢT ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 3 SỐ VÀO TỪNG BDT SAU SẼ ĐƯỢC: 

Có:    \(\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+y}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}{64\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)

=>      \(\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+y}{8}\ge\frac{3x}{4}\)

CMTT TA CŨNG SẼ ĐƯỢC:    \(\hept{\begin{cases}\frac{y^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\ge\frac{3y}{4}\\\frac{z^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\frac{1+z}{8}+\frac{1+x}{8}\ge\frac{3z}{4}\end{cases}}\)

=> TA CỘNG TỪNG VẾ 3 BĐT ĐÓ LẠI SẼ ĐƯỢC:   

\(\Rightarrow P+\frac{1+x}{4}+\frac{1+y}{4}+\frac{1+z}{4}\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow P+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(x+y+z\right)-3}{4}\)

TA LẠI ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 3 SỐ 1 LẦN NỮA SẼ ĐƯỢC: 

\(\Rightarrow P\ge\frac{2.3\sqrt[3]{xyz}-3}{4}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2.3-3}{4}=\frac{6-3}{4}=\frac{3}{4}\)      (DO \(xyz=1\))

DẤU "=" XẢY RA <=>    \(x=y=z\)

MÀ:     \(xyz=1\Rightarrow x=y=z=1\)

VẬY P MIN    \(=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

\(\left|x-\frac{3}{4}\right|+\left|\frac{2}{5}-y\right|+\left|x+y+z\right|\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{3}{4};y=\frac{2}{5};z=-\frac{23}{20}\)