Cho hình thang cân ABCD, O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC.
a) Chứng minh rằng: OA =OB; OC=OD (mình giải đc rồi)
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, DC. Chứng minh rằng: I, M, O, N thẳng hàng
a) Xét ∆ACD và ∆BDC ta có :
DC chung
BC = AD (ABCD là hình thang cân )
ADC = BCD ( ABCD là hình thang cân)
=> ∆ACD = ∆BDC (c.g.c)
=> BDC = ACD (tg ứng)
=> ∆DOC cân tại O
=> OC = OD
Mà AB//DC
ABO = ODC ( so le trong)
BAO = OCN (so le trong)
Mà BDC = ACD (cmt)
=> OAB = ABO
=> ∆AOB cân tại O
=> OA = OB
b) Xét ∆OND và ∆ONC ta có
OC = OD (cmt)
ODC = ONC (cmt)
ON chung
=> ∆OND = ∆ONC (c.g.c)
=> DN = NC(1)
Mà OND + ONC = 180 độ( kề bù)
Mà OND = ONC = 180/2 = 90 độ
=> ON vuông góc với AC(2)
Từ (1) và (2) ta có ∆ cân AOB có trung trực OM đồng thời có trung tuyến OM (3)
Chứng minh tương tự ta có :
∆OMA = ∆OMB
=> AM = MB(4)
=> OMB + OMA = 180 độ(kề bù )
=> OMB = OMA = 180/2 = 90 độ
=> OM vuông góc với AB(5)
Từ (4) và(5) ta có :∆ cân DOC có trung trực ON đồng thời là trung tuyến ON (6)
Từ (3) và (5) => M , O , N thẳng hàng
Cho hình hộp chũ nhật ABCD.A'B'C'D'. Gọi O là giao điểm của AC' và A'C.
a) Chứng minh B,O,D' thẳng hàng
b) Tính thể tích hình hộp chữ nhật, biết AD=4cm, AB=3cm, BD'=12cm
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6cm, AC = 10cm. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD và M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC, OD.
a) Tính S M N P Q
b) Chứng minh rằng: S A M N B = S C P Q D
a) Ta có MN và PQ lần lượt là các đường trung bình của các tam giác AOB và COD mà AB // CD và AB = CD nên MN // PQ và MN = PQ
⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Tương tự NP // BC mà AB ⊥ BC nên MN ⊥ NP. Do đó MNPQ là hình chữ nhật.
Trong ΔABC ta có
Vậy SMNPQ = MN.PQ = 3.4 = 12 (cm2).
b)Dễ thấy ΔAOB = ΔCOD (c.c.c).
Tương tự ΔMON = ΔPOQ
Do đó: SAOB = SCOD và SMON = SPOQ.
⇒ SAOB - SMON = SCOD - SPOQ hay SAMNB = SCPQD.
Cho hình vẽ sau, biết OA = OB; góc OAC = góc OBD.
a) Chứng minh rằng AC = BD; OC = OD; AD = BC.
b) Chứng minh rằng tam giác ADC = tam giác BCD.
c) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng IA = IB và IC = ID.
d) Chứng minh rằng OI là tia phân giác của góc AOB và OI vuông góc CD.
a: Xét ΔOBD và ΔOAC có
\(\widehat{OBD}=\widehat{OAC}\)
OB=OA
\(\widehat{BOD}\) chung
Do đó: ΔOBD=ΔOAC
=>BD=AC; OD=OC
OB+BC=OC
OA+AD=OD
mà OB=OA và OC=OD
nên BC=AD
b: Xét ΔADC và ΔBCD có
AD=BC
CD chung
AC=BD
Do đó: ΔADC=ΔBCD
c: ΔADC=ΔBCD
=>\(\widehat{IDC}=\widehat{ICD}\)
=>ΔIDC cân tại I
=>ID=IC
ID+IB=BD
IC+IA=AC
mà ID=IC và BD=AC
nên IB=IA
d: Xét ΔOAI và ΔOBI có
OA=OB
AI=BI
OI chung
Do đó: ΔOAI=ΔOBI
=>\(\widehat{AOI}=\widehat{BOI}\)
=>OI là phân giác của góc AOB
=>OI là phân giác của góc COD
ΔCOD cân tại O
mà OI là đường phân giác
nên OI\(\perp\)CD
a, xét tam giác OBD và tam giác OAC có:
góc O chung
OA=OB(gt)
góc OAC= góc OBD(gt)
=>tam giác OBD= tam giác OAC (g.c.g)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}AC=BD\\OC=OD\end{matrix}\right.\)(2 cạnh tương ứng)
b, Nối D với C
Xét tam giác ADC và tam giác BCD có:
AD=BC ( cmt)
BD=AC(cmt)
CD cạnh chung
=>tam giác ADC =tam giác BCD (c.c.c)
Cho hình bình hành ABCD,O là giao điểm của AC và BD, trên các đoạn thẳng OA, OC lấy điểm M, N sao cho OM=ON.
A) Chứng minh tứ giác BMCN là hình bình hành
B) Gọi E là giao điểm của DM và AB, F là giao điểm của BN và CD. Chứng minh 3 điểm E,O,F thẳng hàng.
a: Sửa đề: BMDN
ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
Xét tứ giác BMDN có
O là trung điểm chung của BD và MN
=>BMDN là hình bình hành
b: BMDN là hìnhbình hành
=>BN//DM
=>BF//DE
Xét tứ giác BEDF có
BE//DF
BF//DE
Do đó: BEDF là hình bình hành
=>BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm của EF
=>E,O,F thẳng hàng
Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB<CD), O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC
a)Chứng minh OA=OB, OC=OD
b)Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh I, M, O, N thẳng hàng
a: Xét ΔACD và ΔBDC có
AC=BD
AD=BC
CD chung
Do đó: ΔACD=ΔBDC
Suy ra: \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)
hay \(\widehat{ODC}=\widehat{OCD}\)
Xét ΔOCD có \(\widehat{ODC}=\widehat{OCD}\)
nên ΔOCD cân tại O
Suy ra: OC=OD
Ta có: OC+OA=AC
OB+OD=BD
mà AC=BD
và OC=OD
nên OA=OB
Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) . Gọi O là giao điểm của AC và BD . C/m rằng OC = OD , OA = OB
Xét ΔACD và ΔBDC có
AC=BD
AD=BC
CD chung
Do đó: ΔACD=ΔBDC
Suy ra: \(\widehat{ODC}=\widehat{OCD}\)
hay OC=OD
Cho hình hộp chữ nhật A B C D . A 1 B 1 C 1 D 1 có ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O 1 là giao điểm của A 1 C 1 và B 1 D 1 . Chứng minh rằng: O O 1 ⊥ ( A B C D )
Cho hình hộp chữ nhật A B C D . A 1 B 1 C 1 D 1 có ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O 1 là giao điểm của A 1 C 1 và B 1 D 1 . Chứng minh rằng: O O 1 ⊥ ( A B C D )