Cho a,b là số tự nhiên khác 0 sao cho a2 +b2 chia hết cho ab + 1
CMR (a2+b2)/(ab+1) là số chính phương
Cho a và b là những số nguyên dương thỏa mãn ab + 1 chia hết cho a2 + b2 . Hãy chứng minh rằng: a2 + b2 / ab + 1 là bình phương của một số nguyên.
Để \(\frac{2a+2b}{ab+1}\) là bình phương của 1 số nguyên thì 2a + 2b chia hết cho ab + 1; mà ab + 1 chia hết cho 2a + 2b => ab + 1 = 2b + 2a
=> \(\frac{2a+2b}{ab+1}\)=1 = 12
cho a,b,c,d là các số tự nhiên thỏa mãn : đôi 1 khác nhau và a2+d2=b2+c2=t.
chứng minh ab+cd và ac+bd không thể đồng thời là số nguyên tố
Lời giải:
Ta thấy:
$(ab+cd)(ac+bd)=ad(c^2+b^2)+bc(a^2+d^2)$
$=(ad+bc)t$
Mà:
$2(t-ab-cd)=(a-b)^2+(c-d)^2>0$ nên $t> ab+cd$
Tương tự: $t> ac+bd$
Kết hợp $(ab+cd)(ac+bd)=(ad+bc)t$ nên:
$ab+cd> ad+bc, ac+bd> ad+bc$
Nếu $ab+cd, ac+bd$ đều thuộc $P$. Do $ad+bc$ là ước của $ab+cd$ hoặc $ac+bd$. Điều này vô lý
Do đó ta có đpcm.
cho a,b là các số nguyên dương
cmr ab(a2+2)(b2+2) luôn chia hết cho 9
Lời giải:
Sử dụng bổ đề: Một số chính phương $x^2$ khi chia 3 dư 0 hoặc 1.
Chứng minh:
Nêú $x$ chia hết cho $3$ thì $x^2\vdots 3$ (dư $0$)
Nếu $x$ không chia hết cho $3$. Khi đó $x=3k\pm 1$
$\Rightarrow x^2=(3k\pm 1)^2=9k^2\pm 6k+1$ chia $3$ dư $1$
Vậy ta có đpcm
-----------------------------
Áp dụng vào bài:
TH1: Nếu $a,b$ chia hết cho $3$ thì hiển nhiên $ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$
TH1: Nếu $a\vdots 3, b\not\vdots 3$
$\Rightarrow b^2$ chia $3$ dư $1$
$\Rightarrow b^2+3\vdots 3$
$\Rightarrow a(b^2+3)\vdots 9$
$\Rightarrow ab(a^2+3)(b^2+3)\vdots 9$
TH3: Nếu $a\not\vdots 3; b\vdots 3$
$\Rightarrow a^2$ chia $3$ dư $1$
$\Rightarrow a^2+2\vdots 3$
$\Rightarrow b(a^2+2)\vdots 9$
$\Rightarrow ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$
TH4: Nếu $a\not\vdots 3; b\not\vdots 3$
$\Rightarrow a^2, b^2$ chia $3$ dư $1$
$\Rightarrow a^2+2\vdots 3; b^2+2\vdots 3$
$\Rightarrow ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$
Từ các TH trên ta có đpcm.
Cho 4 số tự nhiên khác 0 thỏa mãn: a2 + b2 = c2 + d2. Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số
Ta có : a2 + b2 = c2 + d2
⇒a2 + b2 + c2 + d2 = 2 ( a2 + b2 ) ⋮2 nên là hợp số
Ta có : a2 + b2 + c2 + d2 - ( a + b + c + d )
= a ( a - 1 ) + b ( b - 1 ) + c ( c - 1 ) + d ( d - 1 ) ⋮2
⇒a + b + c + d ⋮2 nên cũng là hợp số
Ta có: \(a^2+b^2=c^2+d^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+a^2+b^2=a^2+b^2+c^2+d^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)=a^2+b^2+c^2+d^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\) là chẵn
Xét hiệu: \(a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\)
Mà tích 2 số TN liên tiếp là chẵn
⇒ Tổng a+b+c+d là chẵn
Vì \(a+b+c+d>2\) với mọi số TN a,b,c,d khác 0
⇒ a+b+c+d là hợp số
a) cho ba số nguyên a,b,c thỏa mãn :a+b=c+d và ab +1=cd . Chứng tỏ c=d
b)cho dãy số nguyên dương : a1,a2,a3,...a7.Gọi b1,b2,...b7 là cách sắp xếp theo thứ tự khác của các số trên . Tính tổng
c)(a1+b1),(a2+b2),....(a7+b7) và cho biết tích P=(a1+b1).(a2+b2).....(a7+b7) là chẵn hay lẻ?
CÁC BẠN GIẢI NHANH GIÙM MÌNH NHA!
Xét tổng
Suy ra có ít nhất một trong 7 số |
là số chẵn
cho a,b,c là số nguyên
ab+bc+ac=1
CMR: (a2+1)(b2+1)(c2+1) là một số chính phương
cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn a2-ab+\(\dfrac{3}{2}\)b2 chia hết cho 25. Chứng minh rằng cả a và b đều chia hết cho 5.
1.Cho a,b,c là các số nguyên tố thoả mãn: ab + 1 = c. CMR: a2+ c hoặc b2+ c là số chính phương
2.Cho m,n là các số nguyên dương thoả mãn: m2+n2+m⋮mn. CMR: m là một số chính phương
Cho a,b là các số hữu tỉ khác 0 thõa mãn đk a/b=ab=a+b tính giá trị của biểu thức T=a2 +b2
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}=ab\Rightarrow a=\dfrac{a}{b^2}\Rightarrow b^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=1\\b=-1\end{matrix}\right.\)
+) Nếu b=1 \(\Rightarrow ab=a+b\Rightarrow a=a+1\left(vôlí\right)\)
+) Nếu \(b=-1\Rightarrow ab=a+b\Rightarrow-a=a-1\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\)
\(T=a^2+b^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(-1\right)^2=\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{5}{4}\)
b=−1⇒ab=a+b⇒−a=a−1⇒a=12b=−1⇒ab=a+b⇒−a=a−1⇒a=12
Tìm a, b thuộc N sao cho a2 + 3b và b2 + 3a đều là số chính phương.