a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM) 

*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2  >= 0 ;  x^2  +xy +y^2 > 0

mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé

ta có \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

<=> \(x^2+y^2\ge2xy\)

<=>\(x^2+y^2+2xy\ge4xy\)

<=>\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

<=>\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

<=>\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Với mọi số thực ta luôn có:

`(x-y)^2>=0`

`<=>x^2-2xy+y^2>=0`

`<=>x^2+y^2>=2xy`

`<=>(x+y)^2>=4xy`

`<=>(x+y)^2>=16`

`<=>x+y>=4(đpcm)`

\(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}=\dfrac{x+3+y+3}{\left(x+3\right)\left(y+3\right)}\)

\(=\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)(vì \(xy=4\))

=> \(\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)

<=> \(5\left(x+y+6\right)\)≤\(2\left(3x+3y+13\right)\)

<=>\(6x+6y+26-5x-5y-30\)≥\(0\)

<=> \(x+y-4\)≥\(0\)

Áp dụng BĐT AM-GM \(\dfrac{a+b}{2}\)≥\(\sqrt{ab}\)

Ta có \(\dfrac{x+y}{2}\)≥\(\sqrt{xy}\)

<=>\(x+y\) ≥ 2\(\sqrt{xy}\)

=>2\(\sqrt{xy}-4\)≥\(0\)

<=> \(4-4\)≥0

<=>0≥0 ( Luôn đúng )

Vậy \(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\text{VT}=x-\frac{x}{x^2+z}+y-\frac{y}{y^2+x}+z-\frac{z}{z^2+y}=(x+y+z)-\left(\frac{x}{x^2+z}+\frac{y}{y^2+x}+\frac{z}{z^2+y}\right)\)

\(\geq (x+y+z)-\left(\frac{x}{2\sqrt{x^2z}}+\frac{y}{2\sqrt{y^2x}}+\frac{z}{2\sqrt{z^2y}}\right)=(x+y+z)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)(1)\)

Từ giả thiết \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)

Cauchy-Schwarz:

\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\geq 3(2)\)

\(\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\leq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(1+1+1)=9\)

\(\Rightarrow \left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\leq 3(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \text{VT}\geq 3-\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)

Mặt khác: \(\text{VP}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{3}{2}\)

Do đó \(\text{VT}\geq \text{VP}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Đặt  \(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=x+y+\frac{2}{x+y}\)  (do  \(xy=1\)  )

Khi đó, ta có thể biến đổi biểu thức  \(P\)  quay về dạng có thể dùng bđt  \(AM-GM\)  hay nói cách khác, đây là số mệnh của nó đã được an bài đằng sau cách cửa biết nói.

\(P=\left[\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}\right]-\frac{2}{x+y}\ge2\sqrt{\left(x+y\right).\frac{4}{\left(x+y\right)}}=4-\frac{2}{x+y}\)

Mặt khác, do  \(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\)  (theo bđt  \(AM-GM\)  cho hai số thực  \(x,y\)không âm)

nên  \(-\frac{1}{x+y}\ge-\frac{1}{2}\)  hay nói cách khác, \(-\frac{2}{x+y}\ge-1\)

Do đó,  \(P\ge4-1=3\)  (đpcm)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\xy=1\\x=y\end{cases}\Leftrightarrow}\)  \(x=y=1\)

1) Tìm GTNN : 

Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :

\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)

Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1 

\(A=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x\left(x+1\right)+\left(y+1\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)

\(=\frac{x^2+x+y^2+y}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+1}{xy+x+y+1}=\frac{-2xy+2}{xy+2}\)

\(=\frac{-2\left(xy+2\right)+6}{xy+2}=-2+\frac{6}{xy+2}\)

vì x,y>0 \(\Rightarrow xy\ge0\Rightarrow xy+2\ge2\Rightarrow\frac{6}{xy+2}\le\frac{6}{2}\)

\(\Rightarrow A\le-2+\frac{6}{2}=1\)

\(\Rightarrow maxA=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Rightarrow maxA=1\)<=> x=0 và y=1 hoặc x=1 và y=0

Áp dụng bđt (a+b)²>=4ab ta có:

\(1^2=\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\Rightarrow xy+2\le\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow A\ge-2+6:\frac{9}{4}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow minA=\frac{2}{3}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)

...\(\Leftrightarrow\frac{x+y+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\) \(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)\ge2\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}+x+y+2\ge2xy+2x+2y+2\)\

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)-\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)

Vì bđt cuối luôn đúng \(\forall xy\ge1\) mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt đầu luôn đúng

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)