Áp Dụng Cosi 3 số Ta phân tích B thành :
\(B=\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}+\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1+y}{4}-\frac{1+x}{4}-1\)
\(=\left(\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1+y}{4}+\frac{1+x}{4}\right)-1\)
Ta có
\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{1+y}.\frac{1+y}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3x}{2}\)
\(\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{y^3}{1+x}.\frac{1+x}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3y}{2}\)
\(\Rightarrow B=\left(\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1+y}{4}+\frac{1+x}{4}\right)-1\ge\)
\(\frac{3y}{2}+\frac{3x}{2}-\left(\frac{1+y}{4}+\frac{1+x}{4}\right)-1=\frac{3y+3x}{2}-\frac{1+y+1+x}{4}-1=\frac{6x+6y-1-y-1-x}{4}\)
\(=\frac{5y+5x-2}{4}-1\)
Ta có
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
mà xy=1
\(\Rightarrow x+y\ge2\)
\(\Rightarrow5\left(x+y\right)\ge10\)
\(\Rightarrow5x+5y-2\ge8\)
\(\Rightarrow\frac{5x+5y-2}{4}\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{5x+5y-2}{4}-1\ge1\)
Mà \(B\ge\frac{5x+5y-2}{4}-1\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{5x+5y-2}{4}-1\ge1\Rightarrow B\ge1\left(dpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt nha
T I C K nha
(x^3)/(1+y)=(x^3)/(1+y)+(1+y)/4+1/2-(1+y)/4-1/2
Áp dụng bất đẳng thức Cosy cho 3 số:(x^3)/(1+y) (1+y)/4 và 1/2 ta có
(x^3)/(1+y) +(1+y)/4 +1/2 \(\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{x^3}{4\cdot2}\right)}=\frac{3}{2}\cdot x\)
CMTT ta có B>=3/2*(x+y)-(1+y+1+x)/4-1=3/2*(x+y)-(2+x+y)/4-1
ta có x+y>=\(2\sqrt{xy}\)=2
~>B>=3/2*2-1-1=1~> ĐPCM
cách này nhanh hơn
Áp dụng bất đẳng thức SVACXƠ ta có
\(B=\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}\ge\frac{\left(x^3+y^3\right)^2}{1+y+1+x}=\frac{\left[\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\right]^2}{2+x+y}\)
Ta có
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\) (1)
Mà xy=1
\(\Rightarrow x+y\ge2\)
\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2+y^2-xy\ge xy=1\)(2)
Lấy (1) x (2) \(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge2\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{2^2}{2+2}=1\Rightarrow\left(dpcm\right)\)
T I C K ủng hộ nha
xy = 1
=> x = 1, y = 1 hoặc x = -1 y = -1
Thay x = 1, y = 1 vào B, có
B = \(\frac{x^3}{1+x}+\frac{y^3}{1+y}\)= \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1\) (DPCM)
Chào Đỗ Thanh Tùng hình như bn sai rồi. Bđt svacxo đâu phải như vậy. Phải là\(\frac{x^3}{1+x}+\frac{y^3}{1+y}\ge\frac{\left(x^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{3}{2}}\right)^2}{2+x+y}\)chứ bn
cách 2 bạn sai . áp dụng bdt do thi co can bac 2
