1. Tìm x, biết: 

a. \(\tan x+\cot x=2\)

b. \(\sin x.\cos x=\frac{\sqrt{3}}{4}\)

2. 

a. Biết \(\tan\alpha=\frac{1}{3}\)Tính A=\(\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)

b. Biết \(\sin\alpha=\frac{2}{3}\)Tính B=\(3.\sin^2\alpha+4.\cos^2\alpha\)

c. Tính C=\(\sin^210^o+\sin^220^o+\sin^270^o+\sin^280^o\)

d. Tính D=\(\tan20^o.\tan35^o.\tan55^o.\tan70^o\)

e. Tính E=\(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha+3.\sin^2\alpha.\cos^2\alpha\)

f. Tính F=\(3.\left(\sin^3\alpha+\cos^3\alpha\right)-2.\left(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha\right)\)

g. Tính G=\(\sqrt{\sin^4\alpha+4.\cos^2\alpha}+\sqrt{\cos^4\alpha+4.\sin^2\alpha}\)

Mọi người giúp mình với. Mình cảm ơn ạ!

Ta có: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). lại có : \(\sin\alpha=\frac{2}{3}\)

=> \(\frac{4}{9}+\cos^2\alpha=1\)

=> \(\cos^2\alpha=\frac{5}{9}\Rightarrow\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\)

Mà \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2}{3}:\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{2}{\sqrt{5}}\)

mặt khác: \(\tan\alpha.\cot\alpha=1\Rightarrow\cot\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

\(M^2=\left(\sqrt{x}+\sqrt{2y}\right)^2=\left(\frac{1}{_{\sqrt{\alpha}}}.\sqrt{\alpha x}+\sqrt{2y}\right)^2< =\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)\left(\alpha x+2y\right)\)

\(\Rightarrow M^4\le\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)^2\left(\alpha x+2y\right)^2\le\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)^2\left(\alpha^2+4\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)^2\left(\alpha^2+4\right)\)

Dấu bằng xảy ra => \(\hept{\begin{cases}\frac{\alpha x}{\frac{1}{\alpha}}=\frac{2y}{1}\\\frac{\alpha}{x}=\frac{2}{y}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\alpha^2x=2y\\\alpha=\frac{2x}{y}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{\alpha^2}{2}=\frac{y}{x}\\\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{y}\end{cases}}}\Rightarrow\frac{\alpha^2}{2}=\frac{1}{\frac{\alpha}{2}}\Rightarrow\alpha=\sqrt[3]{4}\)  

Suy ra max = \(\sqrt[4]{\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)^2\left(\alpha^2+4\right)}\) với \(\alpha=\sqrt[3]{4}\)

Phương trình : \(\left(\sqrt{3}+1\right)sin^2x-2\sqrt{3}sinxcosx+\left(\sqrt{3}-1\right)cos^2x=0\) có các nghiệm là :

A . \(\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\Pi}{4}+k\Pi\\x=\alpha+k\Pi\end{matrix}\right.\) ( Với \(tan\alpha=-2+\sqrt{3}\) )

B . \(\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\Pi}{4}+k\Pi\\x=\alpha+k\Pi\end{matrix}\right.\) ( Với \(tan\alpha=2-\sqrt{3}\) )

C . \(\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\Pi}{8}+k\Pi\\x=\alpha+k\Pi\end{matrix}\right.\) ( Với \(tan\alpha=-1+\sqrt{3}\) )

D . \(\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\Pi}{8}+k\Pi\\x=\alpha+k\Pi\end{matrix}\right.\) ( Với \(tan\alpha=1-\sqrt{3}\) )

Trình bày bài giải chi tiết rồi ms chọn đáp án nha các bạn .

Mọi người giúp em giải bài này ạ, em cảm ơn

Bài 1: Rút gọn biểu thức:

A=\(\frac{\sin2x+\sin x}{1+\cos2x+\cos x}\)

B=\(cota\left(\frac{1+\sin^2a}{\cos a}-cosa\right)\)

C=\(\frac{1+\cos x+\cos2x+\cos3x}{2\cos^2x+\cos x-1}\)

D=\(\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\cdot\tan\left(\pi-x\right)}{\cot\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\cdot\sin\left(\pi-x\right)}-2\cos x\)

E=\(\cos^2x\cdot\cot^2x+3\cos^2x-\cot^2x+2\sin^2x\)

\(F=\frac{\sin^2x+\sin^2x\tan^2x}{\cos^2x+\cos^2x\tan^2x}\)

\(G=\frac{1+cos2a-cosa}{2sina-sina}\)

H=\(sin^{^{ }4}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)-cos^4\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)+1\)

Bài 2: chứng minh

a) cho \(\Delta ABCchứngminhsin\frac{A+B}{2}=cos\frac{C}{2}\)

b) chứng minh biểu thức sau độc lập với biến x:

A=\(cosx+cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)+cos\left(x+\frac{4\pi}{3}\right)\)

c)cho \(\Delta\) ABC chứng minh : sin A+sin B+ sin C= \(4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}\)

d)CMR: \(\frac{cos2a}{1+sin2a}=\frac{cosa-sina}{cosa+sina}\)

e) CMR:\(E=\frac{sin\alpha+cos\alpha}{cos^3\alpha}=1+tan\alpha+tan^2\alpha+tan^3\alpha\)

f) CMR \(\Delta\)ABC cân khi và chỉ khi \(sinB=2cosAsinC\)

g) CM: \(\frac{1-cosx+cos2x}{sin2x-sinx}=cotx\)

h)CM: \(\left(cos3x-cosx\right)^2+\left(sin3x-sinx\right)^2=4sin^2x\)

k) CMR trong tam giac ABC ta có: \(sin2A+sin2B+sin2C=4sinA\cdot sinB\cdot sinC\)

Bài 3: giải bất phương trình:

a)\(\frac{\left(1-3x\right)\left(2x^2+1\right)}{-2x^2-3x+5}>0\)

b)\(\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}\ge0\)

c)\(\frac{\left(3x-2\right)\left(x^2-9\right)}{x^2-4x+4}\le0\)

d)\(\frac{\left(2x^2+3x\right)\left(3-2x\right)}{1-x^2}\ge0\)

e)\(\frac{\left(x^2+2x+1\right)\left(x-1\right)}{3-x^2}\)

f)\(\frac{2x+1}{-x^2+x+6}\ge0\)