Với \(a=b=0,1\) BĐT sai (nói chung nó sai với hầu hết a;b thỏa mãn \(0< \left|a\right|;\left|b\right|< 1\))

BĐT hợp lý phải là: \(x^6+y^6\le\frac{x^8}{y^2}+\frac{y^8}{x^2}\)

Xét hiệu :

H = x² + y² - 2xy = ( x - y )² \(\ge\)0 \(\forall\)x,y

Dấu " = " xảy ra khi : x - y = 0 hay x = y

\(\Rightarrow\)x² + y² \(\ge\)2xy

Vậy x² + y² \(\ge\)2xy

Có : (x-y)^2 >= 0 với mọi x,y

<=> x^2-2xy+y^2 >= 0 

Cộng 2 vế với 2xy ta được :

x^2+y^2 >= 2xy

=> ĐPCM

k mk nha

Bài 1:

Ta có:\(x^2+xy+y^2+1\)

\(=x^2+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{1}{4}y^2+\dfrac{3}{4}y^2+1\)

\(=\left(x^2+\dfrac{1}{2}xy\right)+\left(\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{1}{4}y^2\right)+\dfrac{3}{4}y^2+1\)

\(=x.\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)+\dfrac{1}{2}y.\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)+\dfrac{3}{4}y^2+1\)

\(=\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2+1\)

Với mọi giá trị của \(x\in R\) ta có:

\(\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2\ge0;\dfrac{3}{4}y^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2\ge0\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2+1\ge1>0\)

Hay \(x^2+xy+y^2+1>0\) (đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!

F=x²-x+1/4+y²+4y+4+3/4

=(x-1/2)²+(y+2)²+3/4>=3/4>0 với mọi x

=>dpcm

Ta có : x² - 6xy + 11 

= x² - 6xy + 9 + 2

= (x - 3)² + 2

Mà ;  (x - 3)² \(\ge0\forall x\)

Nên : (x - 3)² + 2 \(\ge2\forall x\)

Vậy x² - 6xy + 11 \(>0\forall x\)

Ta có \(x^2-6xy+11\)

=\(x^2-6xy+9+1\)

=\(\left(x-3\right)^2+2\)

Mà\(\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\)

Nên \(\left(x-3\right)^2+2\ge2\forall x\)

Vậy \(x^2-6xy+11>0\forall x\)

nkjhnj