Chọn D

Xét tam giác ABC có: MN//BC

=>\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}< =>\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{BC}=>BC=6cm\)

Theo định lí Ta-let, ta có: MN//BC \(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow BC=2MN=2.3=6cm\)

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\) MN//BC (định lí Ta-lét đảo)

b) Xét \(\Delta AIB\) có MK // BI ( vì MN // BC)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MK}{BI}\) ( hệ quả của định lí Ta-lét)

C/m tương tự, ta có: \(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{KN}{IC}\)

Mà \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{KN}{IC}\)

Mà \(BI=IC\Rightarrow MK=KN\)

\(\Rightarrow\) K là trung điểm của MN

\(\)

Xét ΔABC có 

M∈AB(gt)

N∈AC(gt)

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)(gt)(1)

Do đó: MN//BC(Định lí Ta lét đảo)

Suy ra: MK//BI và NK//CI

Xét ΔABI có 

M∈AB(gt)

K∈AI(gt)

MK//BI(Gt)

Do đó: \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MK}{BI}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(2)

Xét ΔACI có 

K∈AI(gt)

N∈AC(gt)

KN//IC(cmt)

Do đó: \(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{KN}{IC}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{NK}{CI}\)

mà BI=CI(I là trung điểm của BC)

nên MK=NK(đpcm)

a: XétΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên BM*BA=BH^2; AM*AB=AH^2; HM*AB=HA*HB

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên AN*AC=AH^2; CN*CA=CH^2; HA*HC=HN*CA

CN*BM*BC

=BH^2/BA*CH^2/CA*BC

\(=\dfrac{\left(BH\cdot CH\right)^2}{BA\cdot CA}\cdot BC\)

=AH^4/AH=AH^3

AM*AB=AH^2

AN*AC=AH^2

=>AM*AB=AN*AC(Cái này mới đúng nè bạn, còn cái AM*AC=AN*AB là sai đề rồi á)

b: AM*AN

=AH^2/AB*AH^2/AC

=AH^4/AB*AC

\(=\dfrac{AH^4}{AH\cdot BC}=\dfrac{AH^3}{BC}\)

c: Sửa đề: AB^3/AC^3=BM/CN

\(\dfrac{BM}{CN}=\dfrac{BH^2}{AB}:\dfrac{CH^2}{AC}\)

\(=\dfrac{BH^2}{AB}\cdot\dfrac{AC}{CH^2}=\dfrac{BH^2}{CH^2}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^4}{AC^4}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)

a: \(S_{AMN}=\dfrac{1}{2}\cdot S_{ABN}\)(Do AM/AB=1/2)

Vì NA/NC=1/2

nên NA/AC=1/3

=>\(S_{ABN}=\dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\)

=>\(S_{AMN}=\dfrac{1}{6}\cdot S_{ABC}\)

=>\(\dfrac{S_{AMN}}{S_{BMNC}}=\dfrac{1}{5}\)

tự vẽ hình 

a, có AM/AB=1/3

mà AN/AC=1,5/4,5=1/3

=> AM/AB=AN/AC

=> MN//BC

b, Ta có MN//BC=> tam giác AMN đồng dạng tam giác ABC

=> <AMN= <ABC

Xét tam giác AMI và tam giác ABK

<AMI= <ABC (cmt)

<MAK chung

=> tam giác AMI đồng dạng tam giác ABK

MI/BK= AI/AK 

Xét \(\Delta ABC\) có:

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)

=> \(MN//BC\) ( Định lý Ta - lét đảo)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}MK//BI\\NK//CI\end{matrix}\right.\)

Xét \(\Delta ABI\) có \(MK//BI\)

=> \(\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{AK}{AI}\) ( Hệ quả của định lý Ta - lét) (1)

Xét \(\Delta ACI\) có \(NK//CI\)

=> \(\dfrac{NK}{CI}=\dfrac{AK}{AI}\) ( Hệ quả của định lý Ta - lét) (2)

Từ (1), (2)

=>\(\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{NK}{CI}\)

Mà \(BI=CI\)

=> \(MK=NK\) (đpcm)

Xét ΔABC có AM/AB=AN/AC

nen MN//BC

Xét ΔABI có MK//BI

nên MK/BI=AM/AB=AN/AC(1)

Xét ΔACI có KN//IC

nên KN/IC=AN/AC(2)

Từ (1) và (2) suy ra MK/BI=NK/IC

mà BI=IC

nên MK=NK