Lời giải:

$3\sqrt{7}=\sqrt{3^2.7}=\sqrt{63}$

$4\sqrt{5}=\sqrt{4^2.5}=\sqrt{80}$

Mà $63<80$ nên $3\sqrt{7}< 4\sqrt{5}$

căn 15 < căn 16=4

căn 8 < căn 9 bằng 3 

mà 4=3=7 suy ra 7>căn 15 cộng căn 8

\(\left(\sqrt{5}+\sqrt{7}\right)^2=12+2\sqrt{35}>12=\left(\sqrt{12}\right)^2\\ \Rightarrow\sqrt{5}+\sqrt{7}>\sqrt{12}\)

\(\sqrt{5}+\sqrt{7}\) và \(\sqrt{12}\)

Giả sử: \(\sqrt{5}+\sqrt{7}>\sqrt{12}\)

=> \(\left(\sqrt{5}+\sqrt{7}\right)^2>\left(\sqrt{12}\right)^2\)

<=> \(5+2\sqrt{35}+7>12\)

<=> \(12+2\sqrt{35}>12\) (thỏa mãn giả sử)

Vậy \(\sqrt{5}+\sqrt{7}>\sqrt{12}\)

\(\text{a, Ta có:}\)

\(3\sqrt{7}=\sqrt{3^27}=\sqrt{63}\)

\(9=\sqrt{81}\)

\(\text{Vì}:\sqrt{81}>\sqrt{63}\Rightarrow3\sqrt{7}< 9\)

\(\text{b, Vì}\) \(-\sqrt{3}>-\sqrt{5}\Rightarrow-\sqrt{\sqrt{3}}>-\sqrt{\sqrt{5}}\)

\(c,\sqrt{51}-\sqrt{3}\approx5,4>5\)

\(d.\text{Vì}\) \(5>\sqrt{5}\Rightarrow\sqrt{85+5}>\sqrt{85+\sqrt{5}}\)

Ta giả sử \(4\) và \(\sqrt{7}\) (*) là \(a\) và \(b\left(a,b>0\right)\) thì ta có điều hiển nhiên sau : \(a+b>a-b\)

Đặt căn ở hai bên ta được : \(\sqrt{a+b}>\sqrt{a-b}\)

Thế (*) vào ta được : \(\sqrt{4+\sqrt{7}}>\sqrt{4-\sqrt{7}}\)

Do VT > VP nên trừ ở VP đi một số thực dương sẽ không đổi chiều dấu 

Nên ta suy ra được \(\sqrt{4+\sqrt{7}}>\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{2}\)

Hay viết cách khá là \(A>B\)

A=Căn ( 4 + căn 7) ...... B= Căn ( 4 - Căn 7 ) - Căn 2
xét:
Nếu A < B
Thì Căn (4 + căn 7) > Căn (4 - Căn7) - Căn 2
Nếu Căn (4+ căn 7) = 0
Thì Căn (4+Căn7) - Căn 2 = 0
Mà B= Căn (4 - Căn 7) ( Tức nhỏ hơn Căn (4 + căn 7)
=> A > B

\(\left(5-2\sqrt{7}\right)^2=53-20\sqrt{7}=19+34-20\sqrt{7}\)

\(\left(3-\sqrt{10}\right)^2=19-6\sqrt{10}\)

mà \(34-20\sqrt{7}>-6\sqrt{10}\)

nên \(5-2\sqrt{7}>3-\sqrt{10}\)

\(5\sqrt{3}-4< 3\sqrt{5}\)