B=(2.4.10+4.6.8+14.16.20)/(3.6.15+6.9.12+21.24.30)

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

a: Xét ΔMBD vuông tại D và ΔNCE vuông tại E co

MB=NC

góc MBD=góc NCE
=>ΔMBD=ΔNCE

=>MD=NE

b: Xet tứ giác MDNE có

MD//NE

MD=NE

=>MDNE là hình bình hành

=>MN cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của DE

Tgiac ABC cân tại A => AB = AC và góc B = ACB

Mà góc ACB và góc NCE là 2 góc đối đỉnh => góc ACB = NCE

=> góc NCE = góc B

Xét tgiac MDB và NEC có:

+ góc MDB = NEC

+ BD = CE

+ góc B = NCE (cmt)

=> tgiac MDB = NEC (cgv-gn)

=> MD = NE

a: Xét ΔMDB vuông tại D và ΔNEC vuông tại E có

BD=CE

góc DBM=góc ECN(=góc ACB)

Do đó; ΔMDB=ΔNEC

=>MD=NE

Xét tứ giác MDNE có

MD//NE

MD=NE

Do đó: MDNE là hình bình hành

=>MN cắt ED tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của MN và ED

b:

Kẻ AH vuông góc BC tại H

ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên AH là trung trực của BC

Gọi O là giao của AH với đường vuông góc với MN tại I

=>O nằm trên trung trực của BC

=>OB=OC

Xét ΔOMN có

OI vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔOMN cân tại O

=>OM=ON

Xét ΔOAB và ΔOAC có

OA chung

AB=AC

OB=OC

Do đó: ΔOAB=ΔOAC

=>góc OBA=góc OCA

Xét ΔOBM và ΔOCN có

OB=OC

BM=CN

OM=ON

Do đó: ΔOBM=ΔOCN

=>góc OBM=góc OCN

=>góc OCN=góc OCA=180/2=90 độ

=>OC vuông góc AC

=>O cố định

a: Xét ΔBDM vuông tại D và ΔCEN vuông tại E có

BM=CN

góc DBM=góc ECN=góc ACB

=>ΔBDM=ΔCEN

=>MD=EN

b: Xét tứ giác MDNE có

MD//EN

MD=EN

=>MDNE là hình bình hành

=>MN cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>I la trung điểm của DE

c: Xét ΔABO vuông tại B và ΔACO vuông tại C có

AO chung

AB=AC
=>ΔABO=ΔACO

=>BO=CO

mà AB=AC
nên AO là trung trực của BC

a) Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy trong ΔBAC cân tại A)

mà \(\widehat{ACB}=\widehat{ECN}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ECN}\)

hay \(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\)

Xét ΔMBD vuông tại D và ΔNCE vuông tại E có 

DB=EC(cmt)

\(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\)(cmt)

Do đó: ΔMBD=ΔNCE(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

Suy ra: DM=EN(hai cạnh tương ứng)

-Câu 1,2 của bài này na ná với nhau á, bạn tham khảo:

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-tam-giac-abc-can-tai-a-tren-canh-bc-lay-d-d-khong-trung-b-va-bdbc2-tren-tia-doi-cua-tia-cb-lay-e-sao-cho-bdce-cac-duong-vuong-goc-voi-bc-ke-tu-d-va-e-cat-duong-thang-ab-va-ac-lan-luot-tai.4784314158042

c. -Kẻ tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) cắt đường vuông góc với MN (tại I) tại F.

-Xét △ABF và △ACF:

\(AB=AC\) (△ABC cân tại A).

\(\widehat{BAF}=\widehat{CAF}\) (AF là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))

AF là cạnh chung.

\(\Rightarrow\)△ABF=△ACF (c-g-c).

\(\Rightarrow BF=CF\) (2 cạnh tương ứng).

\(\widehat{ABF}=\widehat{ACF}\) (2 góc tương ứng).

-Xét △MIF và △NIF:

\(MI=IN\left(cmt\right)\)

\(\widehat{MIF}=\widehat{NIF}=90^0\)

IF là cạnh chung.

\(\Rightarrow\)△MIF=△NIF (c-g-c).

\(\Rightarrow MF=NF\) (2 cạnh tương ứng).

-Xét △BMF và △CNF:

\(BM=NC\)(△MBD=△NCE)

\(MF=NF\left(cmt\right)\)

\(BF=CF\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\)△BMF=△CNF (c-c-c).

\(\Rightarrow\widehat{MBF}=\widehat{NCF}\) (2 cạnh tương ứng).

Mà \(\widehat{MBF}=\widehat{MCF}\)(cmt)

\(\Rightarrow\widehat{NCF}=\widehat{MCF}\)

Mà \(\widehat{NCF}+\widehat{MCF}=180^0\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{NCF}=\widehat{MCF}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

\(\Rightarrow\)AB⊥BF tại B.

\(\Rightarrow\) F là giao của đường vuông góc với AB tại B và tia phân giác của góc \(\widehat{BAC}\).

\(\Rightarrow\)F cố định.

-Vậy đường thẳng vuông góc với MN luôn đi qua điểm cố định khi D thay đổi trên đoạn BC.

Mk chỉ cần vẽ hình thôi