CMR phương trình sau không có nghiệm nguyên
\(x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4=2011\)\(x_1^4+x_2^4+...+x_8^4=2011\\ \)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
\(x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4=2015\)
nếu tất cả xi chẵn thì xi4 chẵn nên \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4\)chẵn , không thể bằng 2015
nếu có \(x_k\)lẻ \(x_k=2m_k+1,m_k\inℤ,x_k^4=\left(2m_k+1\right)^4=16m_k^3\left(m_k+2\right)+8m_k\left(3m_k+1\right)+1\)
nếu mk chẵn thì \(8m_k\left(3m_k+1\right)⋮16\)
mk lẻ thì \(3m_k+1\)chẵn \(\Rightarrow8m_k\left(3m_k+1\right)⋮16\)
do đó \(x_k^4\)chia cho 16 có số dư là 1
vì vậy \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4\)chia cho 16 có số dư tối đa là 8
còn 2015=125.16+15 khi chia 16 có số dư là 15
vậy không thể xảy ra \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+....+x_8^4=2015,x_i\inℤ\)
Với \(x\in Z\)thì: \(x^2\)chia 16 dư 0 hoặc 1. (Tự cm)
\(\Rightarrow x^4=\left(x^2\right)^2:16\)dư 0 hoặc 1
\(\Rightarrow x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4\)chia 16 sẽ nhận một trong các số dư 0;1;2...;8
Mà \(2015:16\)dư 15\(\Rightarrow\)Phương trình vô nghiệm.
Giải hệ bất phương trình 9 ẩn số: \(\left\{\begin{matrix} x_1(x_2-x_3+x_4)<0(1)\\x_2(x_3-x_4+x_5)<0(2)\\.......................\\x_8(x_9-x_1+x_2)<0(8)\\x_9(x_1-x_2+x_3)<0(9) \end{matrix}\right.\)
Cho \(x_1;x_2;x_3\) là 3 nghiệm của phương trình \(x^3-4x^2+2x+4=0\) thỏa mãn:
\(S_n=x_1^n+x_2^n+x_3^n\) CMR: \(S_n\) là 1 số nguyên
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-2x-2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x^2-2x-2=0\end{matrix}\right.\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x_3=2\) và \(x_1;x_2\) là nghiệm của \(x^2-2x-2=0\)
Do \(2^n\) nguyên nên ta chỉ cần chứng minh \(P\left(n\right)=x_1^n+x_2^n\) nguyên
\(P\left(1\right)=x_1+x_2=2\in Z\) thỏa mãn
\(P\left(2\right)=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=8\in Z\) thỏa mãn
\(P\left(1\right).P\left(n\right)=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^n+x_2^n\right)=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}+x_1x_2\left(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}\right)\)
\(\Leftrightarrow2P\left(n\right)=P\left(n+1\right)-2P\left(n-1\right)\)
\(\Leftrightarrow P\left(n+1\right)=2P\left(n\right)+2P\left(n-1\right)\)
\(P\left(1\right);P\left(2\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(3\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(4\right)\) nguyên \(\Rightarrow...\Rightarrow P\left(n\right)\) nguyên với mọi n (đpcm)
Cho phương trình \(x^4-\left(3m+1\right)x^2+6m-2=0.\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2;x_3;x_4\)sao cho \(x_1-x_2=x_2-x_3=x_3-x_4\)
1. a ) Cho các sơ đồ phản ứng hóa học sau đây :
\(X_1+X_2\rightarrow Na_2CO_3+H_2O\)
\(X_3+H_2O\xrightarrow[comangngan]{dienphandungdich}X_2+X_4+H_2\)
\(X_5+X_2\rightarrow X_6+H_2O\)
\(X_6+CO_2+H_2O\rightarrow X_7+X_1\)
\(X_5\xrightarrow[Criolit]{dienphannongchay}X_8+O_2\)
Chọn các chất \(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6,X_7,X_8\) thích hợp và hoàn thành các phương tình hóa học của các phản ứng trên.
b. Em hãy đề xuất thêm 4 phản ứng khác nhau để trực tiếp điều chế X2
cho phương trình \(x^4-2\left(m+2\right)x^2+2m+3=0\) tìm tất cả giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3,x_4\) thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=52\)
Tìm các giá trị của \(x_1,x_2,x_3,...,x_{2008}\)sao cho:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+x_3+...+x_{2008}=2008\\x_1^3+x_2+x_3^3+...+x_{2008}^3=x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_{2008}^4\end{matrix}\right.\)
x1+x2+x3+...+x2008=2008
\(\Leftrightarrow\)(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)+...+(x2008-1)=0 (1)
x31+x32+x33+...+x32008=x41+x42+x43+...+x42008
Lấy vế phải trừ vế trái ta được :
x31(x1-1)+x32(x2-1)+x33(x3-1)+...+x32008(x2008-1)=0 (2)
Lấy (1) (2) rồi đặt nhân tử chung là ra cái này
(x31-1)(x1-1)+(x32-1)(x2-1)+(x33-1)(x3-1)+...+(x32008-1)(x2008-1)=0
Ta thấy (x31-1)(x1-1) = (x1-1)(x21+x1+1)(x1-1) = (x1-1)2(x21+x1+1)\(\ge\)0 Với mọi x
CMTT : (x23-1)(x2-1) \(\ge\)0 Với mọi x
.............................................
(x20083-1)(x2008-1) \(\ge\)0 Với mọi x
\(\Rightarrow\)(x31-1)(x1-1)+(x32-1)(x2-1)+(x33-1)(x3-1)+...+(x32008-1)(x2008-1)\(\ge\)0
Mà(x31-1)(x1-1)+(x32-1)(x2-1)+(x33-1)(x3-1)+...+(x32008-1)(x2008-1)=0
Đến đây bạn tự suy ra x1=1; x2=1;...;x2008=1 nhé!
Mình hơi bận nên không giải tiếp được bán nhé!
Mong bạn thông cảm
Cho phương trình \(x^3-mx-2\left(m-4\right)=0\). Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3\)sao cho \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2x_3=25\)
cho phương trình : \(x^2-x-1=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức T = \(x_1^4-x_1^2+x_2^2-x_1\)