nếu tất cả x_i chẵn thì x_i⁴ chẵn nên \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4\)chẵn , không thể bằng 2015

nếu có \(x_k\)lẻ \(x_k=2m_k+1,m_k\inℤ,x_k^4=\left(2m_k+1\right)^4=16m_k^3\left(m_k+2\right)+8m_k\left(3m_k+1\right)+1\)

nếu m_k chẵn thì \(8m_k\left(3m_k+1\right)⋮16\)

m_k lẻ thì \(3m_k+1\)chẵn \(\Rightarrow8m_k\left(3m_k+1\right)⋮16\)

do đó \(x_k^4\)chia cho 16 có số dư là 1

vì vậy \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4\)chia cho 16 có số dư tối đa là 8

còn 2015=125.16+15 khi chia 16 có số dư là 15 

vậy không thể xảy ra \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+....+x_8^4=2015,x_i\inℤ\)

Với \(x\in Z\)thì: \(x^2\)chia 16 dư 0 hoặc 1. (Tự cm)

\(\Rightarrow x^4=\left(x^2\right)^2:16\)dư 0 hoặc 1

\(\Rightarrow x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4\)chia 16 sẽ nhận một trong các số dư 0;1;2...;8

Mà \(2015:16\)dư 15\(\Rightarrow\)Phương trình vô nghiệm.

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-2x-2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x^2-2x-2=0\end{matrix}\right.\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x_3=2\) và \(x_1;x_2\) là nghiệm của \(x^2-2x-2=0\)

Do \(2^n\) nguyên nên ta chỉ cần chứng minh \(P\left(n\right)=x_1^n+x_2^n\) nguyên

\(P\left(1\right)=x_1+x_2=2\in Z\) thỏa mãn

\(P\left(2\right)=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=8\in Z\) thỏa mãn

\(P\left(1\right).P\left(n\right)=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^n+x_2^n\right)=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}+x_1x_2\left(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}\right)\)

\(\Leftrightarrow2P\left(n\right)=P\left(n+1\right)-2P\left(n-1\right)\)

\(\Leftrightarrow P\left(n+1\right)=2P\left(n\right)+2P\left(n-1\right)\)

\(P\left(1\right);P\left(2\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(3\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(4\right)\) nguyên \(\Rightarrow...\Rightarrow P\left(n\right)\) nguyên với mọi n (đpcm)

x₁+x₂+x₃+...+x₂₀₀₈=2008

\(\Leftrightarrow\)(x₁-1)+(x₂-1)+(x₃-1)+...+(x₂₀₀₈-1)=0 (1)

x³₁+x³₂+x³₃+...+x³₂₀₀₈=x⁴₁+x⁴₂+x⁴₃+...+x⁴₂₀₀₈

Lấy vế phải trừ vế trái ta được :

x³₁(x₁-1)+x³₂(x₂-1)+x³₃(x₃-1)+...+x³₂₀₀₈(x₂₀₀₈-1)=0 (2)

Lấy (1) (2) rồi đặt nhân tử chung là ra cái này

(x³₁-1)(x₁-1)+(x³₂-1)(x₂-1)+(x³₃-1)(x₃-1)+...+(x³₂₀₀₈-1)(x₂₀₀₈-1)=0

Ta thấy (x³₁-1)(x₁-1) = (x₁-1)(x²₁+x₁+1)(x₁-1) = (x₁-1)²(x²₁+x₁+1)\(\ge\)0 Với mọi x

CMTT : (x₂³-1)(x₂-1) \(\ge\)0 Với mọi x

.............................................

(x₂₀₀₈³-1)(x₂₀₀₈-1) \(\ge\)0 Với mọi x

\(\Rightarrow\)(x³₁-1)(x₁-1)+(x³₂-1)(x₂-1)+(x³₃-1)(x₃-1)+...+(x³₂₀₀₈-1)(x₂₀₀₈-1)\(\ge\)0

Mà(x³₁-1)(x₁-1)+(x³₂-1)(x₂-1)+(x³₃-1)(x₃-1)+...+(x³₂₀₀₈-1)(x₂₀₀₈-1)=0

Đến đây bạn tự suy ra x₁=1; x₂=1;...;x₂₀₀₈=1 nhé!

Mình hơi bận nên không giải tiếp được bán nhé!

Mong bạn thông cảm

@ Nguyên Công Thành

Dễ