bài 5
ĐK:\(x>2,y>1\)
\(\frac{36}{\sqrt{x-2}}+\frac{4}{\sqrt{y-1}}=28-4\sqrt{x-2}-\sqrt{y-1}..\)\(\Leftrightarrow\frac{36}{\sqrt{x-2}}+4\sqrt{x-2}+\frac{4}{\sqrt{y-1}}+\sqrt{y-1}=28\)
Áp dụng AM-GM ta có:
\(\frac{36}{\sqrt{x-2}}+4\sqrt{x-2}\ge2\sqrt{\frac{144\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}}}=24\)
\(\frac{4}{\sqrt{y-1}}+\sqrt{y-1}\ge2\sqrt{\frac{4\sqrt{y-1}}{\sqrt{y-1}}}=4.\)
\(\Rightarrow\frac{36}{\sqrt{x-2}}+4\sqrt{x-2}+\frac{4}{\sqrt{y-1}}+\sqrt{y-1}\ge28.\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(\frac{36}{\sqrt{x-2}}=4\sqrt{x-2}\Leftrightarrow x=11\left(n\right).\)
\(\frac{4}{\sqrt{y-1}}=\sqrt{y-1}\Leftrightarrow y=5\left(n\right).\)
Vậy \(x=11,y=5\)
<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>x>2;y>1
Khi đó Pt ⇔36√x−2 +4√x−2+4√y−1 +√y−1=28
theo BĐT Cô si ta có 36√x−2 +4√x−2≥2.√36√x−2 .4√x−2=24
và 4√y−1 +√y−1≥2√4√y−1 .√y−1=4
Pt đã cho có VT>= 28 Dấu "=" xảy ra ⇔
36√x−2 =4√x−2⇔x=11
và 4√y−1 =√y−1⇔y=5
Đối chiếu với ĐK thì x=11; y=5 là nghiệm của PT
\(x+y=4\Rightarrow\frac{x+y}{2}=2\Rightarrow\sqrt{\frac{x+y}{2}}=\sqrt{2}\)
\(P.\sqrt{\frac{x+y}{2}}=\sqrt{2}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{2}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}P=\sqrt{1+1}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+1}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}P\ge x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\)
\(x+\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{x}+4x\right)-3x\ge4-3x\)
\(y+\frac{1}{y}=\left(\frac{1}{y}+4y\right)-3y\ge4-3y\)
\(\Rightarrow\sqrt{2}P\ge8-3\left(x+y\right)=8-3.4=-4\)
đến đay sau răng
show that \(\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\frac{1}{\sqrt{y+z}}+\frac{1}{\sqrt{z+x}}\ge2+\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Ta cần chứng minh : a1+a2+...+ann≥a1.a2...an−−−−−−−−−√na1+a2+...+ann≥a1.a2...ann với n∈N*n∈N*
Hiển nhiên bđt đúng với n = 2 , tức là a1+a22≥a1a2−−−−√a1+a22≥a1a2 (1)
Giả sử bđt đúng với n = k , tức là a1+a2+...+akk≥a1.a2...ak−−−−−−−−−√ka1+a2+...+akk≥a1.a2...akk với k>2k>2
Ta sẽ chứng minh bđt cũng đúng với mọi n = k + 1
Không mất tính tổng quát, đặt a1≤a2≤...≤ak≤ak+1a1≤a2≤...≤ak≤ak+1
thì : ak+1≥a1+a2+...+akkak+1≥a1+a2+...+akk . Lại đặt a1+a2+...+akk=x,x≥0a1+a2+...+akk=x,x≥0
⇒ak+1=x+y,y≥0⇒ak+1=x+y,y≥0 và xk=a1.a2...akxk=a1.a2...ak (suy ra từ giả thiết quy nạp)
Ta có : (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1
≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1
Suy ra (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1−−−−−−−−−−√k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1k+1
Vậy bđt luôn đúng với mọi n > 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
kệ mày.
Ta cần chứng minh : a1+a2+...+ann≥a1.a2...an−−−−−−−−−√na1+a2+...+ann≥a1.a2...ann với n∈N*n∈N*
Hiển nhiên bđt đúng với n = 2 , tức là a1+a22≥a1a2−−−−√a1+a22≥a1a2 (1)
Giả sử bđt đúng với n = k , tức là a1+a2+...+akk≥a1.a2...ak−−−−−−−−−√ka1+a2+...+akk≥a1.a2...akk với k>2k>2
Ta sẽ chứng minh bđt cũng đúng với mọi n = k + 1
Không mất tính tổng quát, đặt a1≤a2≤...≤ak≤ak+1a1≤a2≤...≤ak≤ak+1
thì : ak+1≥a1+a2+...+akkak+1≥a1+a2+...+akk . Lại đặt a1+a2+...+akk=x,x≥0a1+a2+...+akk=x,x≥0
⇒ak+1=x+y,y≥0⇒ak+1=x+y,y≥0 và xk=a1.a2...akxk=a1.a2...ak (suy ra từ giả thiết quy nạp)
Ta có : (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1
≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1
Suy ra (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1−−−−−−−−−−√k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1k+1
Vậy bđt luôn đúng với mọi n > 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
3 giây là xong một bài nhé.
Bất đẳng thức, lý thuyết và bài tập ví dụ ôn thi đại họcÔn thi đại họcToán 12 Chuyên đề 12Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất -Giá Trị Nhỏ Nhất§1. Bất Đẳng ThứcA. Kiến Thức Cần Nhớ1. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức.• a > b và b > c ⇒ a > c.• a > b ⇒ a + c > b + c.• Nếu c > 0 thì a > b ⇒ ac > bc.• Nếu c < 0 thì a > b ⇒ ac < bc.2. Bất đẳng thức Cauchy.• Đối với hai số:a + b2≥√ab, ∀a, b ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.Dạng khác: a + b ≥ 2√ab; a2+ b2≥ 2ab;√ab ≤a + b2; ab ≤a + b22.• Đối với ba số:a + b + c3≥3√abc, ∀a, b, c ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.Dạng khác: a + b + c ≥ 33√abc; a3+ b3+ c3≥ 3abc;3√abc ≤a + b + c3; abc ≤a + b + c33.B. Phương Pháp Cơ Bản• PP1: Sử dụng phép biến đổi tương đương.• PP2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.• PP3: Phương pháp hàm số.Lưu ý. Kỹ thuật chọn điểm rơi: Dự đoán dấu bằng xảy ra rồi suy ngược kết quả.C. Bài Tập12.1. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức 2a2+ b2+ c2≥ 2a (b + c).12.2. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức a2b2+ b2c2+ c2a2≥ abc (a + b + c).12.3. Cho a, b > 0. Chứng minh bất đẳng thức a3+ b3≥ a2b + ab2.12.4. Cho a, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thứca + b1 + a + b≤a1 + a+b1 + b.12.5. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứcaa + b+bb + c+cc + a> 1.12.6. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức 1 0. Chứng minh bất đẳng thứca + bc+b + ca+c + ab≥ 6.73Nguyễn Minh Hiếu12.8. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức1a+1b+1c≥9a + b + c.12.9. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức1a+1b+1c+1d≥16a + b + c + d.12.10. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thứca + b + c + d44≥ abcd.12.11. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứcab + c+bc + a+ca + b≥32.12.12. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứcaba + b+bcb + c+cac + a≤a + b + c2.12.13. Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thức2√xx3+ y2+2√yy3+ z2+2√zz3+ x2≤1x2+1y2+1z2.12.14. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh bất đẳng thức (a + b) (b + c) (c + a) abc ≤8729.12.15. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh bất đẳng thức1a3(b + c)+1b3(c + a)+1c3(a + b)≥32.12.16. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh bất đẳng thứca√8c3+ 1+b√8a3+ 1+c√8b3+ 1≥ 1.12.17. (B-05) Chứng minh bất đẳng thức125x+154x+203x≥ 3x+ 4x+ 5x.12.18. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh bất đẳng thức√3 + 4x+√3 + 4y+√3 + 4z≥ 6.12.19. Cho x, y, z thỏa mãn 3−x+ 3−y+ 3−z= 1. Chứng minh9x3x+ 3y+z+9y3y+ 3z+x+9z3z+ 3x+y≥3x+ 3y+ 3z4.12.20. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứca3a + b+b3b + c+c3c + a≥12a2+ b2+ c2.12.21. Cho x, y > 0. Chứng minh bất đẳng thức (1 + x)1 +yx1 +9√y2≥ 256.12.22. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứcab + c+ab + c+bc + a+bc + a+ca + b+ca + b> 3.12.23. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứca + bc+b + ca+c + ab≥ 2ca + b+ab + c+ba + c.12.24. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2+ b2+ c2= 1. Chứng minh bất đẳng thứcab2+ c2+bc2+ a2+ca2+ b2≥3√32.12.25. Chứng minh bất đẳng thứce−x21 + x≤ 1 −x +x42 (1 + x), ∀x ∈ [0; 1].12.26. (CĐ-09) Cho a, b thỏa mãn 0 < a < b < 1. Chứng minh bất đẳng thức a2ln b −b2ln a > ln a −ln b.12.27. (D-07) Cho a ≥ b > 0. Chứng minh bất đẳng thức2a+12ab≤2b+12ba.12.28. (A-03) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z ≤ 1. Chứng minhx2+1x2+y2+1y2+z2+1z2≥√82.12.29. (A-05) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn1x+1y+1z= 4. Chứng minh12x + y + z+12y + z + x+12z + x + y≤ 1.12.30. (D-05) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh1 + x3+ y3xy+1 + y3+ z3yz+√1 + z3+ x3zx≥ 3√3.12.31. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứca2a + 5 (b + c)+b2b + 5 (c + a)+c2c + 5 (a + b)≥14.74 http://mathqb.eazy.vnChuyên đề 12. Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất12.32. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức1a (a + b)+1b (b + c)+1c (c + a)≥272(a + b + c)2.12.33. (A-09) Cho x, y, z > 0 và x (x + y + z) = 3yz. Chứng minh bất đẳng thức(x + y)3+ (x + z)3+ 3 (x + y) (x + z) (y + z) ≤ 5(y + z)312.34. Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thứcxy+z3√xyz2+yz+x3√xyz2+zx+y3√xyz2≥ 12.12.35. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thứcab + c + d+bc + d + a+cd + a + b+da + b + c> 2.12.36. Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thức1 +xy1 +yz1 +zx≥ 21 +x + y + z3√xyz.§2. Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ NhấtA. Phương Pháp Cơ BảnPP1: Sử dụng bất đẳng thức.• Nếu A(x) = f(x).g(x) mà f(x) + g(x) = const thì A(x) đạt giá trị lớn nhất khi f(x) = g(x).• Nếu A(x) = f(x) + g(x) mà f(x).g(x) = const thì A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi f (x) = g(x).PP2: Sử dụng phương pháp hàm số.B. Bài Tập12.37. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =a + b√ab+√aba + b.12.38. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a+b+c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =a3(1 −a)2+b3(1 −b)2+c3(1 −c)2.12.39. Cho a, b, c > 0 và a2+ b2+ c2= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = a + b + c +1abc.12.40. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c ≤32. Tìm giá trị nhỏ nhất của S =a2+1b2+b2+1c2+c2+1a2.12.41. (B-07) Cho x, y, z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xx2+1yz+ yy2+1zx+ zz2+1xy.12.42. (D-08) Cho x, y > 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =(x −y) (1 − xy)(1 + x)2(1 + y)2.12.43. (B-08) Cho x, y thoả mãn x2+ y2= 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P =2x2+ 6xy1 + 2xy + 2y2.12.44. (A-06) Cho x,y = 0 thỏa mãn (x + y) xy = x2+ y2− xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =1x3+1y3.12.45. (B-06) Cho hai số x, y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =(x −1)2+ y2+(x + 1)2+ y2+ |y + 2|.12.46. (A-07) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP =x2(y + z)y√y + 2z√z+y2(z + x)z√z + 2x√x+z2(x + y)x√x + 2y√y12.47. (B-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x +√4 −x2.12.48. (D-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =x+1√x2+1trên đoạn [−1; 2].12.49. (D-2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =−x2+ 4x + 21 +−x2+ 3x + 10.http://mathqb.eazy.vn 75Nguyễn Minh Hiếu12.50. (B-2010) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcM = 3a2b2+ b2c2+ c2a2+ 3 (ab + bc + ca) + 2a2+ b2+ c212.51. (CĐ-2010) Cho x, y > 0 thay đổi thoả mãn 3x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =1x+1√xy.12.52. (D-09) Cho x, y ≥ 0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcS =4x2+ 3y4y2+ 3x+ 25xy12.53. (B-09) Cho x, y thỏa (x + y)3+4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x4+ y4+ x2+ y2−2x2+ y2+1.12.54. (CĐ-08) Cho x, y thoả mãn x2+ y2= 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = 2x3+ y3−3xy.12.55. Cho x,y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =x2(y + z)yz+y2(z + x)zx+z2(x + y)xy.12.56. Cho x, y, z > 1 thoả mãn1x+1y+1z≥ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x − 1) (y −1) (z − 1).12.57. Cho x, y, z là các số thực thoả mãn các điều kiện x + y + z > 0, x + 1 > 0, y + 1 > 0, z + 1 > 0. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức P =xx + 1+yy + 1+zz + 1.12.58. (B-2011) Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn 2a2+ b2+ ab = (a + b) (ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức P = 4a3b3+b3a3− 9a2b2+b2a2.12.59. (A-2011) Cho x, y, z ∈ [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =x2x + 3y+yy + z+zz + x.12.60. (D-2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x −4)2+ (y − 4)2+ 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA = x3+ y3+ 3 (xy − 1) (x + y −2)12.61. (B-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x2+ y2+ z2= 1. Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức P = x5+ y5+ z5.12.62. (A-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP = 3|x−y|+ 3|y−z|+ 3|z−x|−6x2+ 6y2+ 6z276 http://mathqb.eazy.vn - Xem thêm - Xem thêm: Bất đẳng thức, lý thuyết và bài tập ví dụ ôn thi đại học môn toán, Bất đẳng thức, lý thuyết và bài tập ví dụ ôn thi đại học môn toán, Bất đẳng thức, lý thuyết và bài tập ví dụ ôn thi đại học môn toán
cho x,y,z> 0 thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3=1\)
Cmr: \(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3=1\). CMR:
\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)
Áp dụng BĐT AM - GM:
\(\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}\le\frac{x^2+1-x^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{x^3}{\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}}\ge2x^3\)
Tương tự ta CM được:
\(\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{y^3}{\sqrt{y^2\left(1-y^2\right)}}\ge2y^3\) ; \(\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}=\frac{z^3}{\sqrt{z^2\left(1-z^2\right)}}\ge2z^3\)
Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên, ta được:
\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)
bạn xem lại đề xem, mình làm thấy dấu ''='' không xảy ra
\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{2x^3}{2x\sqrt{1-x^2}}\ge\frac{2x^3}{x^2+1-x^2}=2x^3\)
Tương tự: \(\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3\) ; \(\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)
Cộng vế với vế:
\(VT\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)
Dấu "=" ko xảy ra nên BĐT sai, vế trái lớn hơn vế phải 1 cách tuyệt đối.
BĐT đúng là: \(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}>2\)
Cho \(x^3+y^3+z^3=1\) CMR :\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)
Đề sai nha: Vì \(x^3+y^3+z^3=1\);
Vậy ta có: \(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\) Mà ta có: \(x\sqrt{1-x^2}\le\frac{x^2+1-x^2}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) Dấu bằng xảy ra khi \(x=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
Vậy \(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\ge2x^3\)
Tương tự ta có: \(P=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)\) mà \(x^3+y^3+z^3=1\) vậy \(P\ge2\)
Dấu bằng xảy ra khi: \(x=y=z=\sqrt{\frac{1}{2}}\)Nhưng khác với \(x^3+y^3+z^3=1\) Vậy đề bài sai. Chứng tỏ bài này là bài tự chế
Đáng ra bài đúng là:
Cho \(x,y,z\) là ba số thực dương, thỏa mãn: \(x^2+y^2+z^2=1\)Chứng minh rằng: $=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}\ge 2$
\(x\sqrt{1-x^2}\ge\frac{x^2+1-x^2}{2}\) là BĐT nào vậy
Cho \(x^3+y^3+z^3=1\) CMR \(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)
13x2−x4−−−−−−√=13αα2x2(1−x2)−−−−−−−−−−−√ 13αα2x2+(1−x2)2=13(α2−1)x2+132α
9x2+x4−−−−−−√=9ββ2x2(1+x2)−−−−−−−−−−−√ 9ββ2x2+(1+x2)2
S=13x2−x4−−−−−−√+9x2+x4−−−−−−√ [13(α2−1)2α+9(β2+1)2β]x2+132α+92β
Dấu bằng xảy ra khi:{α2x2=1−x2β2x2=1+x2(1)
Mục đích của ta là khử hết x2
do đó:13(α2−1)2α+9(β2+1)2β=0(2)
Giải (1)và(2) ta tìm được α=12;β=32.Lúc này:
S 132α+92β=16
Vậy Max của S=16,dấu bằng xảy ra khi (1)α2x2=1−x2 x=25√
13x2−x4−−−−−−√=13αα2x2(1−x2)−−−−−−−−−−−√ 13αα2x2+(1−x2)2=13(α2−1)x2+132α
9x2+x4−−−−−−√=9ββ2x2(1+x2)−−−−−−−−−−−√ 9ββ2x2+(1+x2)2
S=13x2−x4−−−−−−√+9x2+x4−−−−−−√ [13(α2−1)2α+9(β2+1)2β]x2+132α+92β
Dấu bằng xảy ra khi:{α2x2=1−x2β2x2=1+x2(1)
Mục đích của ta là khử hết x2
do đó:13(α2−1)2α+9(β2+1)2β=0(2)
Giải (1)và(2) ta tìm được α=12;β=32.Lúc này:
S 132α+92β=16
Vậy Max của S=16,dấu bằng xảy ra khi (1)α2x2=1−x2 x=25√
1) với x,y là số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
2) cho x,y,z là các số thực lớn hơn -1. chứng minh \(\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\ge2\)
Bài 1: \(T=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
\(=\frac{x^2}{\sqrt{x\left(x^3+8y^3\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left[y^3+\left(x+y\right)^3\right]}}\)
\(=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+2xy\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}}\)
\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)
\(\Rightarrow T\ge1\)
Bài 2:
[Toán 10] Bất đẳng thức | Page 5 | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam
Cho \(x\ge3,y\ge2,z\ge1.CMR\)
\(\frac{xy\sqrt{z-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{x-3}}{xyz}\le\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}\)
\(\frac{xy\sqrt{z-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{x-3}}{xyz}\\ =\frac{xy\sqrt{z-1}}{xyz}+\frac{xz\sqrt{y-2}}{xyz}+\frac{yz\sqrt{x-3}}{xyz}\\ =\frac{\sqrt{z-1}}{z}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{x-3}}{x}\\ =\frac{2\sqrt{z-1}}{2z}+\frac{2\sqrt{2}\sqrt{y-2}}{2\sqrt{2}y}+\frac{2\sqrt{3}\sqrt{x-3}}{2\sqrt{3}x}\)
Áp dụng BDT Cô-si với 2 số không âm:
\(\Rightarrow\frac{2\sqrt{z-1}}{2z}+\frac{2\sqrt{2}\sqrt{y-2}}{2\sqrt{2}y}+\frac{2\sqrt{3}\sqrt{x-3}}{2\sqrt{3}x}\\ \le\frac{1+\left(z-1\right)}{2z}+\frac{2+\left(y-2\right)}{2\sqrt{2}y}+\frac{3+\left(x-3\right)}{2\sqrt{3}x}\\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z-1=1\\y-2=2\\x-3=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=2\\y=4\\x=6\end{matrix}\right.\)
Vậy.......
