Câu hỏi của Lightning Farron

Question

show that $\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\frac{1}{\sqrt{y+z}}+\frac{1}{\sqrt{z+x}}\ge2+\frac{1}{\sqrt{2}}$

không nói hahahahahha · Accepted Answer

Ta cần chứng minh : a1+a2+...+ann≥a1.a2...an−−−−−−−−−√na1+a2+...+ann≥a1.a2...ann với n∈N*n∈N*Hiển nhiên bđt đúng với n = 2 , tức là a1+a22≥a1a2−−−−√a1+a22≥a1a2 (1)Giả sử bđt đúng với n = k , tức là a1+a2+...+akk≥a1.a2...ak−−−−−−−−−√ka1+a2+...+akk≥a1.a2...akk với k>2k>2Ta sẽ chứng minh bđt cũng đúng với mọi n = k + 1 Không mất tính tổng quát, đặt a1≤a2≤...≤ak≤ak+1a1≤a2≤...≤ak≤ak+1thì : ak+1≥a1+a2+...+akkak+1≥a1+a2+...+akk . Lại đặt a1+a2+...+akk=x,x≥0a1+a2+...+akk=x,x≥0⇒ak+1=x+y,y≥0⇒ak+1=x+y,y≥0 và xk=a1.a2...akxk=a1.a2...ak (suy ra từ giả thiết quy nạp)Ta có : (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1                                            ≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1Suy ra (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1−−−−−−−−−−√k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1k+1Vậy bđt luôn đúng với mọi n > 2 (2)Từ (1) và (2) suy ra đpcm.Câu trả lời: Ta cần chứng minh : a1+a2+...+ann≥a1.a2...an−−−−−−−−−√na1+a2+...+ann≥a1.a2...ann với n∈N*n∈N*Hiển nhiên bđt đúng với n = 2 , tức là a1+a22≥a1a2−−−−√a1+a22≥a1a2 (1)Giả sử bđt đúng với n = k , tức là a1+a2+...+akk≥a1.a2...ak−−−−−−−−−√ka1+a2+...+akk≥a1.a2...akk với k>2k>2Ta sẽ chứng minh bđt cũng đúng với mọi n = k + 1 Không mất tính tổng quát, đặt a1≤a2≤...≤ak≤ak+1a1≤a2≤...≤ak≤ak+1thì : ak+1≥a1+a2+...+akkak+1≥a1+a2+...+akk . Lại đặt a1+a2+...+akk=x,x≥0a1+a2+...+akk=x,x≥0⇒ak+1=x+y,y≥0⇒ak+1=x+y,y≥0 và xk=a1.a2...akxk=a1.a2...ak (suy ra từ giả thiết quy nạp)Ta có : (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1                                            ≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1Suy ra (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1−−−−−−−−−−√k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1k+1Vậy bđt luôn đúng với mọi n > 2 (2)Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

không nói hahahahahha · Answer

kệ mày.Ta cần chứng minh : a1+a2+...+ann≥a1.a2...an−−−−−−−−−√na1+a2+...+ann≥a1.a2...ann với n∈N*n∈N*Hiển nhiên bđt đúng với n = 2 , tức là a1+a22≥a1a2−−−−√a1+a22≥a1a2 (1)Giả sử bđt đúng với n = k , tức là a1+a2+...+akk≥a1.a2...ak−−−−−−−−−√ka1+a2+...+akk≥a1.a2...akk với k>2k>2Ta sẽ chứng minh bđt cũng đúng với mọi n = k + 1 Không mất tính tổng quát, đặt a1≤a2≤...≤ak≤ak+1a1≤a2≤...≤ak≤ak+1thì : ak+1≥a1+a2+...+akkak+1≥a1+a2+...+akk . Lại đặt a1+a2+...+akk=x,x≥0a1+a2+...+akk=x,x≥0⇒ak+1=x+y,y≥0⇒ak+1=x+y,y≥0 và xk=a1.a2...akxk=a1.a2...ak (suy ra từ giả thiết quy nạp)Ta có : (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1                                            ≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1Suy ra (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1−−−−−−−−−−√k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1k+1Vậy bđt luôn đúng với mọi n > 2 (2)Từ (1) và (2) suy ra đpcm.Câu trả lời: kệ mày.Ta cần chứng minh : a1+a2+...+ann≥a1.a2...an−−−−−−−−−√na1+a2+...+ann≥a1.a2...ann với n∈N*n∈N*Hiển nhiên bđt đúng với n = 2 , tức là a1+a22≥a1a2−−−−√a1+a22≥a1a2 (1)Giả sử bđt đúng với n = k , tức là a1+a2+...+akk≥a1.a2...ak−−−−−−−−−√ka1+a2+...+akk≥a1.a2...akk với k>2k>2Ta sẽ chứng minh bđt cũng đúng với mọi n = k + 1 Không mất tính tổng quát, đặt a1≤a2≤...≤ak≤ak+1a1≤a2≤...≤ak≤ak+1thì : ak+1≥a1+a2+...+akkak+1≥a1+a2+...+akk . Lại đặt a1+a2+...+akk=x,x≥0a1+a2+...+akk=x,x≥0⇒ak+1=x+y,y≥0⇒ak+1=x+y,y≥0 và xk=a1.a2...akxk=a1.a2...ak (suy ra từ giả thiết quy nạp)Ta có : (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1                                            ≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1Suy ra (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1−−−−−−−−−−√k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1k+1Vậy bđt luôn đúng với mọi n > 2 (2)Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

không nói hahahahahha · Answer

3 giây là xong một bài nhé.Bất đẳng thức, lý thuyết và bài tập ví dụ ôn thi đại họcÔn thi đại họcToán 12 Chuyên đề 12Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất -Giá Trị Nhỏ Nhất§1. Bất Đẳng ThứcA. Kiến Thức Cần Nhớ1. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức.• a > b và b > c ⇒ a > c.• a > b ⇒ a + c > b + c.• Nếu c > 0 thì a > b ⇒ ac > bc.• Nếu c < 0 thì a > b ⇒ ac < bc.2. Bất đẳng thức Cauchy.• Đối với hai số:a + b2≥√ab, ∀a, b ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.Dạng khác: a + b ≥ 2√ab; a2+ b2≥ 2ab;√ab ≤a + b2; ab ≤a + b22.• Đối với ba số:a + b + c3≥3√abc, ∀a, b, c ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.Dạng khác: a + b + c ≥ 33√abc; a3+ b3+ c3≥ 3abc;3√abc ≤a + b + c3; abc ≤a + b + c33.B. Phương Pháp Cơ Bản• PP1: Sử dụng phép biến đổi tương đương.• PP2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.• PP3: Phương pháp hàm số.Lưu ý. Kỹ thuật chọn điểm rơi: Dự đoán dấu bằng xảy ra rồi suy ngược kết quả.C. Bài Tập12.1. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức 2a2+ b2+ c2≥ 2a (b + c).12.2. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức a2b2+ b2c2+ c2a2≥ abc (a + b + c).12.3. Cho a, b > 0. Chứng minh bất đẳng thức a3+ b3≥ a2b + ab2.12.4. Cho a, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thứca + b1 + a + b≤a1 + a+b1 + b.12.5. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứcaa + b+bb + c+cc + a> 1.12.6. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức 1 0. Chứng minh bất đẳng thứca + bc+b + ca+c + ab≥ 6.73Nguyễn Minh Hiếu12.8. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức1a+1b+1c≥9a + b + c.12.9. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức1a+1b+1c+1d≥16a + b + c + d.12.10. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thứca + b + c + d44≥ abcd.12.11. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứcab + c+bc + a+ca + b≥32.12.12. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứcaba + b+bcb + c+cac + a≤a + b + c2.12.13. Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thức2√xx3+ y2+2√yy3+ z2+2√zz3+ x2≤1x2+1y2+1z2.12.14. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh bất đẳng thức (a + b) (b + c) (c + a) abc ≤8729.12.15. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh bất đẳng thức1a3(b + c)+1b3(c + a)+1c3(a + b)≥32.12.16. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh bất đẳng thứca√8c3+ 1+b√8a3+ 1+c√8b3+ 1≥ 1.12.17. (B-05) Chứng minh bất đẳng thức125x+154x+203x≥ 3x+ 4x+ 5x.12.18. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh bất đẳng thức√3 + 4x+√3 + 4y+√3 + 4z≥ 6.12.19. Cho x, y, z thỏa mãn 3−x+ 3−y+ 3−z= 1. Chứng minh9x3x+ 3y+z+9y3y+ 3z+x+9z3z+ 3x+y≥3x+ 3y+ 3z4.12.20. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứca3a + b+b3b + c+c3c + a≥12a2+ b2+ c2.12.21. Cho x, y > 0. Chứng minh bất đẳng thức (1 + x)1 +yx1 +9√y2≥ 256.12.22. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứcab + c+ab + c+bc + a+bc + a+ca + b+ca + b> 3.12.23. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứca + bc+b + ca+c + ab≥ 2ca + b+ab + c+ba + c.12.24. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2+ b2+ c2= 1. Chứng minh bất đẳng thứcab2+ c2+bc2+ a2+ca2+ b2≥3√32.12.25. Chứng minh bất đẳng thứce−x21 + x≤ 1 −x +x42 (1 + x), ∀x ∈ [0; 1].12.26. (CĐ-09) Cho a, b thỏa mãn 0 < a < b < 1. Chứng minh bất đẳng thức a2ln b −b2ln a > ln a −ln b.12.27. (D-07) Cho a ≥ b > 0. Chứng minh bất đẳng thức2a+12ab≤2b+12ba.12.28. (A-03) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z ≤ 1. Chứng minhx2+1x2+y2+1y2+z2+1z2≥√82.12.29. (A-05) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn1x+1y+1z= 4. Chứng minh12x + y + z+12y + z + x+12z + x + y≤ 1.12.30. (D-05) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh1 + x3+ y3xy+1 + y3+ z3yz+√1 + z3+ x3zx≥ 3√3.12.31. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứca2a + 5 (b + c)+b2b + 5 (c + a)+c2c + 5 (a + b)≥14.74 http://mathqb.eazy.vnChuyên đề 12. Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất12.32. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức1a (a + b)+1b (b + c)+1c (c + a)≥272(a + b + c)2.12.33. (A-09) Cho x, y, z > 0 và x (x + y + z) = 3yz. Chứng minh bất đẳng thức(x + y)3+ (x + z)3+ 3 (x + y) (x + z) (y + z) ≤ 5(y + z)312.34. Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thứcxy+z3√xyz2+yz+x3√xyz2+zx+y3√xyz2≥ 12.12.35. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thứcab + c + d+bc + d + a+cd + a + b+da + b + c> 2.12.36. Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thức1 +xy1 +yz1 +zx≥ 21 +x + y + z3√xyz.§2. Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ NhấtA. Phương Pháp Cơ BảnPP1: Sử dụng bất đẳng thức.• Nếu A(x) = f(x).g(x) mà f(x) + g(x) = const thì A(x) đạt giá trị lớn nhất khi f(x) = g(x).• Nếu A(x) = f(x) + g(x) mà f(x).g(x) = const thì A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi f (x) = g(x).PP2: Sử dụng phương pháp hàm số.B. Bài Tập12.37. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =a + b√ab+√aba + b.12.38. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a+b+c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =a3(1 −a)2+b3(1 −b)2+c3(1 −c)2.12.39. Cho a, b, c > 0 và a2+ b2+ c2= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = a + b + c +1abc.12.40. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c ≤32. Tìm giá trị nhỏ nhất của S =a2+1b2+b2+1c2+c2+1a2.12.41. (B-07) Cho x, y, z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xx2+1yz+ yy2+1zx+ zz2+1xy.12.42. (D-08) Cho x, y > 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =(x −y) (1 − xy)(1 + x)2(1 + y)2.12.43. (B-08) Cho x, y thoả mãn x2+ y2= 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P =2x2+ 6xy1 + 2xy + 2y2.12.44. (A-06) Cho x,y = 0 thỏa mãn (x + y) xy = x2+ y2− xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =1x3+1y3.12.45. (B-06) Cho hai số x, y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =(x −1)2+ y2+(x + 1)2+ y2+ |y + 2|.12.46. (A-07) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP =x2(y + z)y√y + 2z√z+y2(z + x)z√z + 2x√x+z2(x + y)x√x + 2y√y12.47. (B-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x +√4 −x2.12.48. (D-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =x+1√x2+1trên đoạn [−1; 2].12.49. (D-2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =−x2+ 4x + 21 +−x2+ 3x + 10.http://mathqb.eazy.vn 75Nguyễn Minh Hiếu12.50. (B-2010) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcM = 3a2b2+ b2c2+ c2a2+ 3 (ab + bc + ca) + 2a2+ b2+ c212.51. (CĐ-2010) Cho x, y > 0 thay đổi thoả mãn 3x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =1x+1√xy.12.52. (D-09) Cho x, y ≥ 0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcS =4x2+ 3y4y2+ 3x+ 25xy12.53. (B-09) Cho x, y thỏa (x + y)3+4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x4+ y4+ x2+ y2−2x2+ y2+1.12.54. (CĐ-08) Cho x, y thoả mãn x2+ y2= 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = 2x3+ y3−3xy.12.55. Cho x,y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =x2(y + z)yz+y2(z + x)zx+z2(x + y)xy.12.56. Cho x, y, z > 1 thoả mãn1x+1y+1z≥ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x − 1) (y −1) (z − 1).12.57. Cho x, y, z là các số thực thoả mãn các điều kiện x + y + z > 0, x + 1 > 0, y + 1 > 0, z + 1 > 0. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức P =xx + 1+yy + 1+zz + 1.12.58. (B-2011) Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn 2a2+ b2+ ab = (a + b) (ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức P = 4a3b3+b3a3− 9a2b2+b2a2.12.59. (A-2011) Cho x, y, z ∈ [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =x2x + 3y+yy + z+zz + x.12.60. (D-2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x −4)2+ (y − 4)2+ 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA = x3+ y3+ 3 (xy − 1) (x + y −2)12.61. (B-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x2+ y2+ z2= 1. Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức P = x5+ y5+ z5.12.62. (A-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP = 3|x−y|+ 3|y−z|+ 3|z−x|−6x2+ 6y2+ 6z276 http://mathqb.eazy.vn - Xem thêm - Xem thêm: Bất đẳng thức, lý thuyết và bài tập ví dụ ôn thi đại học môn toán, Bất đẳng thức, lý thuyết và bài tập ví dụ ôn thi đại học môn toán, Bất đẳng thức, lý thuyết và bài tập ví dụ ôn thi đại học môn toán Câu trả lời: 3 giây là xong một bài nhé.Bất đẳng thức, lý thuyết và bài tập ví dụ ôn thi đại họcÔn thi đại họcToán 12 Chuyên đề 12Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất -Giá Trị Nhỏ Nhất§1. Bất Đẳng ThứcA. Kiến Thức Cần Nhớ1. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức.• a > b và b > c ⇒ a > c.• a > b ⇒ a + c > b + c.• Nếu c > 0 thì a > b ⇒ ac > bc.• Nếu c < 0 thì a > b ⇒ ac < bc.2. Bất đẳng thức Cauchy.• Đối với hai số:a + b2≥√ab, ∀a, b ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.Dạng khác: a + b ≥ 2√ab; a2+ b2≥ 2ab;√ab ≤a + b2; ab ≤a + b22.• Đối với ba số:a + b + c3≥3√abc, ∀a, b, c ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.Dạng khác: a + b + c ≥ 33√abc; a3+ b3+ c3≥ 3abc;3√abc ≤a + b + c3; abc ≤a + b + c33.B. Phương Pháp Cơ Bản• PP1: Sử dụng phép biến đổi tương đương.• PP2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.• PP3: Phương pháp hàm số.Lưu ý. Kỹ thuật chọn điểm rơi: Dự đoán dấu bằng xảy ra rồi suy ngược kết quả.C. Bài Tập12.1. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức 2a2+ b2+ c2≥ 2a (b + c).12.2. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức a2b2+ b2c2+ c2a2≥ abc (a + b + c).12.3. Cho a, b > 0. Chứng minh bất đẳng thức a3+ b3≥ a2b + ab2.12.4. Cho a, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thứca + b1 + a + b≤a1 + a+b1 + b.12.5. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứcaa + b+bb + c+cc + a> 1.12.6. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức 1 0. Chứng minh bất đẳng thứca + bc+b + ca+c + ab≥ 6.73Nguyễn Minh Hiếu12.8. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức1a+1b+1c≥9a + b + c.12.9. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức1a+1b+1c+1d≥16a + b + c + d.12.10. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thứca + b + c + d44≥ abcd.12.11. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứcab + c+bc + a+ca + b≥32.12.12. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứcaba + b+bcb + c+cac + a≤a + b + c2.12.13. Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thức2√xx3+ y2+2√yy3+ z2+2√zz3+ x2≤1x2+1y2+1z2.12.14. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh bất đẳng thức (a + b) (b + c) (c + a) abc ≤8729.12.15. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh bất đẳng thức1a3(b + c)+1b3(c + a)+1c3(a + b)≥32.12.16. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh bất đẳng thứca√8c3+ 1+b√8a3+ 1+c√8b3+ 1≥ 1.12.17. (B-05) Chứng minh bất đẳng thức125x+154x+203x≥ 3x+ 4x+ 5x.12.18. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh bất đẳng thức√3 + 4x+√3 + 4y+√3 + 4z≥ 6.12.19. Cho x, y, z thỏa mãn 3−x+ 3−y+ 3−z= 1. Chứng minh9x3x+ 3y+z+9y3y+ 3z+x+9z3z+ 3x+y≥3x+ 3y+ 3z4.12.20. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứca3a + b+b3b + c+c3c + a≥12a2+ b2+ c2.12.21. Cho x, y > 0. Chứng minh bất đẳng thức (1 + x)1 +yx1 +9√y2≥ 256.12.22. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứcab + c+ab + c+bc + a+bc + a+ca + b+ca + b> 3.12.23. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứca + bc+b + ca+c + ab≥ 2ca + b+ab + c+ba + c.12.24. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2+ b2+ c2= 1. Chứng minh bất đẳng thứcab2+ c2+bc2+ a2+ca2+ b2≥3√32.12.25. Chứng minh bất đẳng thứce−x21 + x≤ 1 −x +x42 (1 + x), ∀x ∈ [0; 1].12.26. (CĐ-09) Cho a, b thỏa mãn 0 < a < b < 1. Chứng minh bất đẳng thức a2ln b −b2ln a > ln a −ln b.12.27. (D-07) Cho a ≥ b > 0. Chứng minh bất đẳng thức2a+12ab≤2b+12ba.12.28. (A-03) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z ≤ 1. Chứng minhx2+1x2+y2+1y2+z2+1z2≥√82.12.29. (A-05) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn1x+1y+1z= 4. Chứng minh12x + y + z+12y + z + x+12z + x + y≤ 1.12.30. (D-05) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh1 + x3+ y3xy+1 + y3+ z3yz+√1 + z3+ x3zx≥ 3√3.12.31. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thứca2a + 5 (b + c)+b2b + 5 (c + a)+c2c + 5 (a + b)≥14.74 http://mathqb.eazy.vnChuyên đề 12. Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất12.32. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức1a (a + b)+1b (b + c)+1c (c + a)≥272(a + b + c)2.12.33. (A-09) Cho x, y, z > 0 và x (x + y + z) = 3yz. Chứng minh bất đẳng thức(x + y)3+ (x + z)3+ 3 (x + y) (x + z) (y + z) ≤ 5(y + z)312.34. Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thứcxy+z3√xyz2+yz+x3√xyz2+zx+y3√xyz2≥ 12.12.35. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thứcab + c + d+bc + d + a+cd + a + b+da + b + c> 2.12.36. Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thức1 +xy1 +yz1 +zx≥ 21 +x + y + z3√xyz.§2. Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ NhấtA. Phương Pháp Cơ BảnPP1: Sử dụng bất đẳng thức.• Nếu A(x) = f(x).g(x) mà f(x) + g(x) = const thì A(x) đạt giá trị lớn nhất khi f(x) = g(x).• Nếu A(x) = f(x) + g(x) mà f(x).g(x) = const thì A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi f (x) = g(x).PP2: Sử dụng phương pháp hàm số.B. Bài Tập12.37. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =a + b√ab+√aba + b.12.38. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a+b+c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =a3(1 −a)2+b3(1 −b)2+c3(1 −c)2.12.39. Cho a, b, c > 0 và a2+ b2+ c2= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = a + b + c +1abc.12.40. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c ≤32. Tìm giá trị nhỏ nhất của S =a2+1b2+b2+1c2+c2+1a2.12.41. (B-07) Cho x, y, z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xx2+1yz+ yy2+1zx+ zz2+1xy.12.42. (D-08) Cho x, y > 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =(x −y) (1 − xy)(1 + x)2(1 + y)2.12.43. (B-08) Cho x, y thoả mãn x2+ y2= 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P =2x2+ 6xy1 + 2xy + 2y2.12.44. (A-06) Cho x,y = 0 thỏa mãn (x + y) xy = x2+ y2− xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =1x3+1y3.12.45. (B-06) Cho hai số x, y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =(x −1)2+ y2+(x + 1)2+ y2+ |y + 2|.12.46. (A-07) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP =x2(y + z)y√y + 2z√z+y2(z + x)z√z + 2x√x+z2(x + y)x√x + 2y√y12.47. (B-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x +√4 −x2.12.48. (D-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =x+1√x2+1trên đoạn [−1; 2].12.49. (D-2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =−x2+ 4x + 21 +−x2+ 3x + 10.http://mathqb.eazy.vn 75Nguyễn Minh Hiếu12.50. (B-2010) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcM = 3a2b2+ b2c2+ c2a2+ 3 (ab + bc + ca) + 2a2+ b2+ c212.51. (CĐ-2010) Cho x, y > 0 thay đổi thoả mãn 3x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =1x+1√xy.12.52. (D-09) Cho x, y ≥ 0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcS =4x2+ 3y4y2+ 3x+ 25xy12.53. (B-09) Cho x, y thỏa (x + y)3+4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x4+ y4+ x2+ y2−2x2+ y2+1.12.54. (CĐ-08) Cho x, y thoả mãn x2+ y2= 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = 2x3+ y3−3xy.12.55. Cho x,y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =x2(y + z)yz+y2(z + x)zx+z2(x + y)xy.12.56. Cho x, y, z > 1 thoả mãn1x+1y+1z≥ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x − 1) (y −1) (z − 1).12.57. Cho x, y, z là các số thực thoả mãn các điều kiện x + y + z > 0, x + 1 > 0, y + 1 > 0, z + 1 > 0. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức P =xx + 1+yy + 1+zz + 1.12.58. (B-2011) Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn 2a2+ b2+ ab = (a + b) (ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức P = 4a3b3+b3a3− 9a2b2+b2a2.12.59. (A-2011) Cho x, y, z ∈ [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =x2x + 3y+yy + z+zz + x.12.60. (D-2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x −4)2+ (y − 4)2+ 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA = x3+ y3+ 3 (xy − 1) (x + y −2)12.61. (B-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x2+ y2+ z2= 1. Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức P = x5+ y5+ z5.12.62. (A-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP = 3|x−y|+ 3|y−z|+ 3|z−x|−6x2+ 6y2+ 6z276 http://mathqb.eazy.vn - Xem thêm - Xem thêm: Bất đẳng thức, lý thuyết và bài tập ví dụ ôn thi đại học môn toán, Bất đẳng thức, lý thuyết và bài tập ví dụ ôn thi đại học môn toán, Bất đẳng thức, lý thuyết và bài tập ví dụ ôn thi đại học môn toán

§1. Bất đẳng thức

Khoá học trên OLM (olm.vn)