a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=21^2+28^2=1225\)

hay BC=35(cm)

Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{BD}{21}=\dfrac{CD}{28}\)

mà BD+CD=BC(D nằm giữa B và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{21}=\dfrac{CD}{28}=\dfrac{BD+CD}{21+28}=\dfrac{BC}{49}=\dfrac{35}{49}=\dfrac{5}{7}\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{BD}{21}=\dfrac{5}{7}\\\dfrac{CD}{28}=\dfrac{5}{7}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BD=15\left(cm\right)\\CD=20\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: BD=15cm; CD=20cm

Bài 2: 

a: Xét ΔABC vuông tại B có 

\(AB^2+BC^2=AC^2\)

hay BC=20(cm)

Xét ΔABC vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}BA^2=AH\cdot AC\\BC^2=CH\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=9\left(cm\right)\\CH=16\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

-Tham khảo:

https://hoc24.vn/cau-hoi/giup-2-cau-cuoi-thoicho-dabc-tai-a-co-ab21cm-ac28cm-ad-phan-giac-bac-d-bcatinh-db-dcb-ke-de-ac-tinh-de-ecccm-dabcdedc-hay-tinh.4844365471752

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100\)

=>\(BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)

=>\(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}\)

=>\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}\)

mà AD+CD=AC=8

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}=\dfrac{AD+CD}{3+5}=\dfrac{8}{8}=1\)

=>\(AD=3\cdot1=3\left(cm\right);DC=5\cdot1=5\left(cm\right)\)

b: Xét ΔBAH có BI là phân giác

nên \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{BH}{BA}\left(1\right)\)

Xét ΔABC có BD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{BA}{BC}\left(2\right)\)

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

góc ABH chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{AD}{DC}\)

c: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBHI vuông tại H có

\(\widehat{ABD}=\widehat{HBI}\)

Do đó: ΔBAD~ΔBHI

=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BD}{BI}\)

=>\(BA\cdot BI=BD\cdot BH\)

Ta có: ΔBAD~ΔBHI

=>\(\widehat{BDA}=\widehat{BIH}\)

mà \(\widehat{BIH}=\widehat{AID}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{ADI}=\widehat{AID}\)

=>ΔAID cân tại A

b) Xét ΔABH có BI là đường phân giác ứng với cạnh AH(Gt)

nên \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{BH}{BA}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)(1)

Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{BA}{BC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)(2)

Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có 

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔABH∼ΔCBA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BH}{BA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{AD}{DC}\)(đpcm)

3: 

\(BC=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

HB=12^2/20=7,2cm

=>HC=20-7,2=12,8cm

\(AD=\dfrac{2\cdot12\cdot16}{12+16}\cdot cos45=\dfrac{48\sqrt{2}}{7}\)

\(HD=\sqrt{AD^2-AH^2}=\dfrac{48}{35}\left(cm\right)\)