Chúc em học tốt

Tham khảo: Toán - [Lớp 8] Chứng minh tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng thì bằng bình phương tỉ số đồng dạng. | Cộng đồng Học sinh Việt Nam - HOCMAI Forum

tk:

GT ΔABC∼ΔA′B′C′  theo tỉ số k
KL: S ABC SA′B′C′
bg:
Chứng minh tgABC đồng dạng vớ tg A'B'H' để suy ra: AH/A'H' = AB/A'B' = k
SABCSA′B′C′= 1/2AH.BC1/2A′H′.B′C′=k.k=k2

Giả sử \(_{\Delta ABC\approx\Delta DEM}\) theo tỷ số k và có 2 đường cao, 2 cạnh tương ứng là h,a ; h',a'

 Ta có: \(\frac{\Delta ABC}{\Delta DEM}=\frac{ah}{2}\div\frac{a'h'}{2}=\frac{ah}{a'h'}=\frac{a}{a'}.\frac{h}{h'}=k.k=k^2\)

   => ĐPCM

hình 49

Sabc=1/2ah.bc

Sa'b'c'=1/2a'h'.b'c'

tính tỉ sô Sabc/Sa'b'c=ah.bc/a'h'.b'c'

tam giác abc đồng dạng với tam giác a'b'c' theo tỉ số đồng dạng k suy ra bc/b'c'=ah/a'h'=k

suy ra Sabc/Sa'b'c'=bc/b'c' . ah/a'h'=k.k=k^2

suy ra đpcm

Gọi chu vi của tam giác ABC là C₁, chu vi của tam giác DEF là C₂

và ΔABC∼ΔDEF

=>AB/DE=BC/EF=AC/DF

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{AB+BC+AC}{DE+EF+DF}=\dfrac{C_1}{C_2}\)

Do đó: Tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng

-Giả sử △ABC∼△DEF \(\Rightarrow\dfrac{AC}{DF}=k\).

-Kẻ các đường phân giác AM, DN của △ABC, △DEF.

-Ta có: \(\widehat{NDF}=\dfrac{1}{2}\widehat{EDF}\) (DN là p/g của \(\widehat{EDF}\))

\(\widehat{MAC}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}\) (AM là p/g của \(\widehat{BAC}\)).

Mà \(\widehat{EDF}=\widehat{BAC}\)(△ABC∼△DEF) nên \(\widehat{NDF}=\widehat{MAC}\).

-Xét △AMC và △DNF có:

\(\widehat{NDF}=\widehat{MAC}\) (cmt).

\(\widehat{NFD}=\widehat{MCA}\)(△ABC∼△DEF)

\(\Rightarrow\)△AMC∼△DNF(g-g).

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{DN}=\dfrac{AC}{DF}=k\) (2 tỉ số tương ứng).

3
Có tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C'(gt)

Nên \(\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{A'C'}{AC}=\dfrac{B'C'}{BC}=k\)

Xét tam giác A'B'H' và tam giác ABH có:

góc A'H'B' = góc ABH (=90o)

góc A'B'H'= góc ABH (vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C')

Nên tam giác A'B'H' đồng dạng với tam giác ABH (g.g)

Do vậy \(\dfrac{A'H'}{AH}=\dfrac{A'B'}{AB}=k\)

2/

Có tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C'(gt)

Nên \(\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{A'C'}{AC}=\dfrac{B'C'}{BC}=k\) (1)

và \(\)góc B'A'M' = góc BAM \(\left(=\dfrac{1}{2}B'A'C'=\dfrac{1}{2}BAC\right)\) (2)

Xét tam giác A'B'M' và tam giác ABC có:

góc B'A'M' = góc BAM (từ 2)

góc A'B'M' = góc ABM (tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C')

Nên tam giác A'B'M' đồng dạng với tam giác ABM (g.g)

Do vậy \(\dfrac{A'M'}{AM}=\dfrac{A'B'}{AB}=k\) (từ 1)

3/

Có tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C'(gt)

Nên \(\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{\dfrac{B'C'}{2}}{\dfrac{BC}{2}}=\dfrac{B'M'}{BM}\) (1)

Xét tam giác A'B'M' và tam giác ABM có:

\(\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{B'M'}{BM}\) (từ 1)

góc A'B'M' = góc ABM (tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C')

Nên tam giác A'B'M' đồng dạng với tam giác ABM (c.g.c)

Do vậy \(\dfrac{A'M'}{AM}=\dfrac{A'B'}{AB}=k\)

Do tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên ta có :

 \(\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=\left(\frac{2}{7}\right)^2=\frac{2^2}{7^2}=\frac{4}{49}\)

Vậy tỉ số diện tích tam giác ABC và tam giác A'B'C' là 4/49