Xét đường tròn (O;R) có \(\widehat{MTA}\)là góc tạo bởi tiếp tuyến MT (tiếp điểm là T) và dây cung TA \(\Rightarrow\widehat{MTA}=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\)

Mà \(\widehat{MBT}\)là góc nội tiếp chắn cung TA \(\Rightarrow\widehat{MBT}=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\)

\(\Rightarrow\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\right)\)

Xét \(\Delta MTA\)và \(\Delta MBT\), ta có: \(\widehat{BMT}\)chung; \(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta MTA~\Delta MBT\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{MT}{MB}=\frac{MA}{MT}\Rightarrow MT^2=MA.MB\)(1)

Hoàn toàn tương tự, ta có \(MT^2=MC.MD\)(2)

Vì MT là tiếp tuyến tại T của (O) \(\Rightarrow MT\perp OT\)tại T \(\Rightarrow\Delta OMT\)vuông tại T

\(\Rightarrow OM^2=MT^2+OT^2\)\(\Rightarrow MT^2=OM^2-OT^2\)

Đồng thời MT là tiếp tuyến tại T của (O;R) \(\Rightarrow OT=R\)

Như vậy ta có \(MT^2=OM^2-R^2\)(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có đpcm.

a: ΔOCD can tại O

mà OI là trung tuyến

nên OI vuông góc CD

Xét tứ giác OAMB có

góc OAM+góc OBM=180 độ

=>OAMB là tứ giác nội tiếp

=>O,A,M,B cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OM(1)

Vì ΔOIM vuông tại I

nên I nằm trên đường tròn đường kính OM(2)

Từ (1), (2) suy ra ĐPCM

b: Xét ΔMAC và ΔMDA có

góc MAC=góc MDA

góc AMC chung

=>ΔMAC đồng dạng vơi ΔMDA

=>MA/MD=MC/MA

=>MA^2=MD*MC

1) Xét (O) có

\(\widehat{ACD}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AD}\)

\(\widehat{MDA}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến MD và dây cung AD

Do đó: \(\widehat{ACD}=\widehat{MDA}\)(Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

hay \(\widehat{MCD}=\widehat{MDA}\)

Xét ΔMCD và ΔMDA có

\(\widehat{MCD}=\widehat{MDA}\)(cmt)

\(\widehat{CMD}\) chung

Do đó: ΔMCD∼ΔMDA(g-g)

⇒\(\dfrac{MC}{MD}=\dfrac{MD}{MA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

nên \(MD^2=MC\cdot MA\)(đpcm)

Vẽ tiếp tuyến ME

Xét \(\Delta MEA\) và \(\Delta MBE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MEA=\angle MBE\\\angle BMEchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MEA\sim\Delta MBE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{ME}{MB}=\dfrac{MA}{ME}\Rightarrow ME^2=MA.MB\)

Xét \(\Delta MEC\) và \(\Delta MDE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MEC=\angle MDE\\\angle DMEchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MEC\sim\Delta MDE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{ME}{MD}=\dfrac{MC}{ME}\Rightarrow ME^2=MC.MD\)

\(\Rightarrow MC.MD=MA.MB\Rightarrow MC.\left(MC+CD\right)=MA.\left(MA+AB\right)\)

\(\Rightarrow MC^2+MC.CD-MA^2-MA.AB=0\)

\(\Rightarrow\left(MC-MA\right)\left(MC+MA\right)+CD\left(MC-MA\right)\left(AB=CD\right)\)

\(=\left(MC-MA\right)\left(MC+MA+CD\right)=0\) mà \(MC+MA+CD>0\)

\(\Rightarrow MC=MA\)

a) tứ giác AOBM nội tiếp thì có tâm đường tròn là trung điểm OM

cần CM tứ giác OIMB nội tiếp: dùng tổng hai góc đối cộng với nhau bằng 180o, mà đã có OBM=90o, mà I là trung điểm dây cung CD nên OI vuông góc CD luôn => OIM=90o

Vậy tứ giác OIMB nội tiếp thì tâm đường tròn cũng tại trung điểm OM luôn

b) 5 điểm A,I,O,B,M cùng thuộc 1 đtron

=> tứ giác AIOB nội tiếp => góc AIB=AOB (cùng chắn cung)

tứ giác AIOM nội tiếp => góc AIM=AOM (ccc)

mà góc AOM=1/2AOB=AIM=1/2AIB

=> BIM=1/2AIB (đpcm

Xét ΔMBC và ΔMDB có

góc MBC=góc MDB

góc BMC chung

=>ΔMBC đồng dạng với ΔMDB

=>MB/MD=MC/MB

=>MB^2=MD*MC