\(BĐT\Leftrightarrow\frac{a}{1}+\frac{1}{a}\ge2\) .

Áp dụng BĐT cô si ta có: \(\frac{a}{1}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{1}.\frac{1}{a}}\). Suy ra \(\frac{a}{1}+\frac{1}{a}\ge2\)

Hay \(a+\frac{1}{a}\ge2^{\left(đpcm\right)}\)

\(\left(a^2-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4-2a^2+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4+1\ge2a^2\)

\(\Leftrightarrow1.\left(a^4+1\right)\ge2a^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{a^2}{a^4+1}\) (đpcm)

\(\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^4+1\ge2a^2\)                                     (1)

Mà theo BĐT Cauchy có

\(a^4+1\ge2\sqrt{a^4}\)

\(\Leftrightarrow a^4+1\ge2a^2\)

Suy ra BĐT (1) luôn đúng

suy ra đề bài luôn đúng

ta có \(\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}\)

⇔ 2a²≤ a⁴+1

⇔ a⁴+1 ≥ 2a²

⇔ a⁴-2a²+1≥0

⇔(a²-1)² ≥ 0 (luôn đúng )

vậy \(\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}\); với a =1 hoặc a= -1 thì dấu bằng xảy ra

a) Ta có: \(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\forall a\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a+1\ge4a\forall a\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\)(đpcm)

b) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

\(a+1\ge2\sqrt{a};b+1\ge2\sqrt{b};c+1\ge2\sqrt{c}\\ \Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

\(\ge\frac{1}{2}\frac{4}{a+b}+\frac{1}{2}\frac{4}{b+c}+\frac{1}{2}\frac{4}{c+a}\)

\(=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

\(a+\frac{1}{a}=\frac{a^2+1}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a)

\(a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\)

Đề sai à, giả sử \(a>1\Rightarrow\frac{a+1}{a}< 2\)