a)\(2^k>2k+1\left(1\right)\)

Với n=3, ta có:\(VT=8;VP=7\), nên (1) đúng nới n=3

Giả sử (1) đúng với \(k=n\), tức là \(2^n>2n+1\left(n\in N\text{*};n\ge3\right)\)

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với \(k=n+1\) tức là phải chứng minh \(2^{n+1}>2\left(n+1\right)+1\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

\(2^{n+1}=2\cdot2^n>2\left(2n+1\right)=4n+2=2n+3+\left(2n-1\right)>2n+3\), do \(\left(n\in N\text{*},n\ge3\right)\)

Vậy (1) đúng với mọi số nguyên \(k\ge3\)

b)\(n^4+6n^3+11n^2+6n\)

\(=n\left(n^3+6n^2+11n+6\right)\)

\(=n\left(n^3+n^2+5n^2+5n+6n+6\right)\)

\(=n\left[\left(n^3+n^2\right)+\left(5n^2+5n\right)+\left(6n+6\right)\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮120\)

Mà \(120⋮24\) =>Đpcm

Ta co n³ + 3n² - 4n - 2010n = n(n - 1)(n + 4) - 2010n

Ta co 2010n chia het cho 6

n(n-1) chia het cho 2 nen  n(n-1)(n+4) chia het cho 2

Voi n = 3k thi n chia het cho 3 (1)

Voi n = 3k+ 1 thi n-1 chia het cho 3 (2)

Voi n = 3k + 2 thi (n + 4) chia het cho 3 (3)

Tu do n(n-1)(n+4) chia het cho 3

Vay n³ + 3n² - 2014n chia het cho 6

a) Ta có:

\(n^2\left(n+1\right)-n\left(n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì trong 3 số nguyên liên tiếp, có ít nhất 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 2 nên tích n(n-1)(n+1) chia hết cho 6 hay \(n^2\left(n+1\right)-n\left(n+1\right)\) chia hết cho 6(đpcm).

b) Ta có:

\(20^{n+1}-20^n=20^n\cdot19\)

Vì \(20^n\) là số nguyên nên \(20^n\cdot19⋮19\). Hay \(20^{n+1}-20^n⋮19\left(đpcm\right)\)

a) Vì ƯCLN(a,b)=42 nên a=42.m và b=42.n với ƯCLN(m,n)=1

Mặt khác a+b=252 nên 42.m+42.n=252 hay m+n=6

Do m và n nguyên tố cùng nhau nên ta được như sau:

- Nếu m=1 thì a=42 và n=5 thì b=210

- Nếu m=5 thì a=210 và n=1 thì b=42

b) x+3 là ước của 12= {1;2;3;4;6} suy ra x={0;1;3}

c) Giả sử ƯCLN(2n+1; 6n+5)=d khi đó (2n+1) chia hết cho d và (6n+5) chia hết cho d

                                                        3(2n+1) chia hết cho d và (6n+5) chia hết cho d

                                                        (6n+5) - (6n+3) chia hết cho d syt ra 2 chia hết cho d suy ra d=1; d=2

Nhưng do 2n+1 là số lẻ nên d khác 2. vậy d=1 suy ra ƯCLN(2n+1; 6n+5)=1

Như vậy 2n+1 và 6n+5 là 2 nguyên tố cùng nhau với bất kỳ n thuộc N (đpcm)

m n ở đâu