gọi biểu thức là A ta có :

để A nguyên thì n+9 phải chia hết cho n-6

n+9 : hết cho n-6 

=> n - 6 +15 : hết cho n-6 

vì n-6 : hết cho n-6 

=> 15 : hết cho n-6

=> n-6 thuộc Ư(15)

=> n-6 thuộc {1,3,5,15}

=> n thuộc {7 , 9 , 11, 21}(thõa mãn điều kiện n thuộc N , n>6)

k đi mình làm cho

a) n+9n−6=n−6+15n−6=1+15n−6n+9n−6=n−6+15n−6=1+15n−6

Để phân số có giá trị là số tự nhiên điều kiện là: 

n−6∈Ư(15)={1;3;5;15}n−6∈Ư(15)={1;3;5;15}vì n > 6 

=> n∈{7;9;11;21}n∈{7;9;11;21} thỏa mãn

b) Đặt:  (n+9;n−6)=d(n+9;n−6)=d với d là số tự nhiên 

=> \hept{n+9⋮dn−6⋮d⇒15⋮d\hept{n+9⋮dn−6⋮d⇒15⋮d=> d∈Ư(15)={1;3;5;15}d∈Ư(15)={1;3;5;15}

Với d = 3 => \hept{n+9⋮3n−6⋮3⇒2(n+9)−(n−6)⋮3⇒n+24⋮3⇒n⋮3\hept{n+9⋮3n−6⋮3⇒2(n+9)−(n−6)⋮3⇒n+24⋮3⇒n⋮3=> Tồn tại  số tự nhiên k để n = 3k ( k>2)

Với d = 5 => \hept{n+9⋮5n−6⋮5⇒2(n+9)−(n−6)⋮5⇒n+4⋮5\hept{n+9⋮5n−6⋮5⇒2(n+9)−(n−6)⋮5⇒n+4⋮5=> Tồn tại stn h để: n + 4 = 5 h <=> n = 5h - 4 ( h > 2)

Do đó để phân số trên là tốn giản 

<=> d = 1 =>  n≠3k;n≠5h−4n≠3k;n≠5h−4 với h; k là số tự nhiên lớn hơn 2

Vậy  n≠3k;n≠5h−4n≠3k;n≠5h−4 với h; k là số tự nhiên lớn hơn 2

Lời giải:

a. Để phân số đã cho có giá trị nguyên thì:

$n+9\vdots n-6$

$\Rightarrow (n-6)+15\vdots n-6$
$\Rightarrow 15\vdots n-6$

Mà $n>6$ nên $n-6>0$

$\Rightarrow n-6\in\left\{1;3;5;15\right\}$

$\Rightarrow n\in \left\{7; 9; 11; 21\right\}$

b.

Gọi $d=ƯCLN(n+9, n-6)$

$\Rightarrow n+9\vdots d; n-6\vdots d$

$\Rightarrow (n+9)-(n-6)\vdots d$

$\Rightarrow 15\vdots d$

Để ps đã cho tối giản thì $(d,15)=1$
$\Rightarrow (3,d)=(5,d)=1$

Điều này xảy ra khi: 

$n-6\not\vdots 3; n-6\not\vdots 5$

$\Rightarrow n\not\vdots 3$ và $n-1\not\vdots 5$

$\Rightarrow n\not\vdots 3$ và $n\neq 5k+1$ với $k$ nguyên.

a, Phân số \(\frac{n+9}{n-6}\) là số tự nhiên <=> \(\left(n+9\right)⋮\left(n-6\right)\)

<=> \(15⋮\left(n-6\right)\)

<=> \(n-6\inƯ\left(15\right)=\left\{\pm1;\pm3;\pm5;\pm15\right\}\)

Lập bảng, kết luận.

a) Để \(A\inℤ\)

\(\Rightarrow3⋮n-5\)

\(\Rightarrow n-5\inƯ\left(3\right)\)

\(\Rightarrow n-5\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

Lập bảng xét các trường hợp : 

Vậy \(n\in\left\{2;4;0\right\}\)

b) Để \(\frac{n+9}{n-6}\inℕ\Leftrightarrow n+9⋮n-6\)

\(\Rightarrow n-6+15⋮n-6\)

Vì \(n-6⋮n-6\)

\(\Rightarrow15⋮n-6\)

\(\Rightarrow n-6\inƯ\left(15\right)\)

\(\Rightarrow n-6\in\left\{\pm1;\pm3;\pm5;\pm15\right\}\)

Lập bảng xét các trường hợp ta có: 

Vậy \(n\in\left\{7;5;9;3;11;1;21;-9\right\}\)

a) \(\frac{n+9}{n-6}=\frac{n-6+15}{n-6}=1+\frac{15}{n-6}\)

Để phân số có giá trị là số tự nhiên điều kiện là: 

\(n-6\inƯ\left(15\right)=\left\{1;3;5;15\right\}\)vì n > 6 

=> \(n\in\left\{7;9;11;21\right\}\) thỏa mãn

b) Đặt:  \(\left(n+9;n-6\right)=d\) với d là số tự nhiên 

=> \(\hept{\begin{cases}n+9⋮d\\n-6⋮d\end{cases}}\Rightarrow15⋮d\)=> \(d\inƯ\left(15\right)=\left\{1;3;5;15\right\}\)

Với d = 3 => \(\hept{\begin{cases}n+9⋮3\\n-6⋮3\end{cases}}\Rightarrow2\left(n+9\right)-\left(n-6\right)⋮3\Rightarrow n+24⋮3\Rightarrow n⋮3\)=> Tồn tại  số tự nhiên k để n = 3k ( k>2)

Với d = 5 => \(\hept{\begin{cases}n+9⋮5\\n-6⋮5\end{cases}}\Rightarrow2\left(n+9\right)-\left(n-6\right)⋮5\Rightarrow n+4⋮5\)=> Tồn tại stn h để: n + 4 = 5 h <=> n = 5h - 4 ( h > 2)

Do đó để phân số trên là tốn giản 

<=> d = 1 =>  \(n\ne3k;n\ne5h-4\) với h; k là số tự nhiên lớn hơn 2

Vậy  \(n\ne3k;n\ne5h-4\) với h; k là số tự nhiên lớn hơn 2

a: Để A là số tự nhiên thì n-6+15 chia hết cho n-6

=>\(n-6\in\left\{1;-1;3;-3;5;-5;15;-15\right\}\)

mà n>6

nên \(n\in\left\{7;9;11;21\right\}\)

b: \(A=\dfrac{n-6+15}{n-6}=1+\dfrac{15}{n-6}\)

Để A là phân số tối giản thì ƯCLN(n-9;n-6)=1

=>ƯCLN(15;n-6)=1

=>n-6<>3k và n-6<>5k

=>\(n\notin\left\{3k+6;5k+6\right\}\)

Do phân số \(\frac{n+9}{n-6}\)nguyên dương

=> n + 9 chia hết cho n - 6

=> n - 6 + 15 chia hết cho n - 6

Do n - 6 chia hết cho n - 6 => 15 chia hết cho n - 6

Mà n > 6 => n - 6 > 0 => \(n-6=15\)

=> n = 21

Mk nghĩ chỗ điều kiện n < 6 fai sửa thành n > 6 ms đúng đó