cmr
với mọi a,b,c là các số nguyên dương.,ta có
(a+b+c). (1/a+1/b+1/c) lớn hơn hoặc bằng 9.
giúp e bài toán này với
CMR với a,b,c là các số dương ta có (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>= 9 >= đây là dấu lớn hơn hoặc bằng nha
xét vế trái ta có (nhân vào )
a/a + a/b + a/c + b/a + b/b + b/c + c/a + c/b +c/c >= 9
<=> 3 + ( a/b +b/a ) + (b/c + c/b )+ (c/a +a/c) >=9
áp dụng bất đẳng thức phụ : a/b + b/a >=2 , b/c + c/b >= 2 , a/c +c/a >=2 ta được
3 +2 +2+2 >=9
=> đpcm
ta CM bất đẳng thức phụ a/b +b/a >=2 nhé !
vì a/b +b/a >=2 nên ta xét hiệu:
a/b + b/c - 2 >= 0
ta quy đồng mẫu các phân số :
<=> a2 /ab + b2/ab - 2ab/ab >= 0
<=> (a2 + b2 - 2ab) / ab = (a-b)2 /ab >=0
dấu = xảy ra khi a-b =0 <=> a=b
nên a/b + b/a - 2 >=0
<=> a/b + b/a >= 2 dấu = xảy ra khi a=b
Bài toán:
a) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+2c=6. Tìm GTNN của A= a^2+ b^2+ c^2 + 1/a^2+b^2+c^2
b) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn Biết rằng 1 bé hơn hoặc bằng a;b;c bé hơn hoặc bằng 2 và a+b+c=5
tìm GTLN, GTNN của B=a^3+b^3+c^3
Giúp mình giải bài này với!!!!!!!!!!!!!!!!
Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=a*b*c .Cmr a+b+c >hoặc bằng (1/a+1/b+1/c) . Giúp mình giải bài này với nhanh lên đâỳ có đầy đủ cách làm
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c=6
CM: a, 1/a + 1/b + 1/c lớn hơn hoặc bằng 3/2
b, a^2/c + b^2/a + c^2/b lớn hơn hoặc bằng 6
a) Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)
b) Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:
\(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c=6\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c=6
CM: a, 1/a + 1/b + 1/c lớn hơn hoặc bằng 3/2
b, a^2/c + b^2/a + c^2/b lớn hơn hoặc bằng 6
(dùng bđt cô-si)
Lời giải:
a. Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{1}{a}+\frac{a}{4}\geq 1$
$\frac{1}{b}+\frac{b}{4}\geq 1$
$\frac{1}{c}+\frac{c}{4}\geq 1$
Cộng theo vế:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{a+b+c}{4}\geq 3$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{4}\geq 3$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
b.
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{a^2}{c}+c\geq 2a$
$\frac{b^2}{a}+a\geq 2b$
$\frac{c^2}{b}+b\geq 2c$
$\Rightarrow \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+(c+a+b)\geq 2(a+b+c)$
$\Rightarrow \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq a+b+c=6$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
a) Số nguyên a lớn hơn 5. Số a có chắc chắn là số dương không ?
b) Số nguyên b lớn hơn 1. Số b có chắc chắn là số âm không ?
c) Số nguyên c lớn hơn -3. Số c có chắc chắn là số dương không ?
d) Số nguyên d nhỏ hơn hoặc bằng -2. Số d có chắc chắn là số âm không ?
a, Số nguyên a > 5. Số a có chắc chắn là số dương.
b, Số nguyên b > 1. Số b không là số âm.
c, Số nguyên c > -3. Số c không chắc chắn là số dương.
d, Số nguyên d \(\le\) -2. Số d có chắc chắn là số âm
Giải giúp mình bài này với:
Cho a, b, c là cã số dương, chứng tỏ:
a) a/b+b/c >hoặc =2
b) (a+b+c) (1/a+1/b+1/c) > hoặc = 9
a) Áp dụng BĐT côsi ta có:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>=2\cdot\sqrt[2]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)
b)bạn nhân hết ra rồi áp dụng BĐT cối là được!!!!
bạn học bđt cô-si chưa bạn
chỉ cần dùng cô-si là ra
BĐT côsi :\(a+b>=2\cdot\sqrt[2]{a\cdot b}\)
dấu = khi a=b.
ta suy ra các BĐT phụ ,cậu có thể tìm trên google mấy chuyên đề này nha!!!!
Bài toán sau đây có một lời giải bằng phương pháp S-S tại đây nhưng nó dài dòng và khó hơn SOS nhiều,nên em muốn mọi người dùng sos hoặc là các BĐT cổ điển cũng được (phù hợp với lớp 8 nha)để giải bài này ạ!
Bài toán: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\ge\frac{8}{9}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
BĐT
<=> \(\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac}{3\left(ac+bc+ac\right)}\ge\frac{8}{9}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
<=>\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{a\left(a\left(b+c\right)+bc\right)}{b+c}+...\right)\)
<=> \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(a^2+b^2+c^2+\frac{abc}{b+c}+\frac{abc}{a+c}+\frac{abc}{a+b}\right)\)
<=>\(\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{abc}{b+c}+\frac{abc}{a+c}+\frac{abc}{a+b}\right)\)
Mà \(\frac{abc}{b+c}\le abc.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(ab+bc\right)\)
Khi đó BĐT
<=>\(\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\right)\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)(luôn đúng )
=> ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Cách này chủ yếu biến đổi tương đương nên chắc phù hợp với lớp 8
Nếu sử dụng SOS nhìn vào sẽ làm đc liền vì có Nesbitt lẫn \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}\)
Sau đây là lời giải sử dụng SOS của em,mọi người xem thử ạ!
Bớt \(\frac{4}{3}\) ở mỗi vế,ta cần chứng minh:
\(\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{ab+bc+ca}\ge\frac{8}{9}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{8}{9}.\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2}{2}\left(\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{8}{9\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(ab+bc+ca+9c^2\right)\left(a-b\right)^2}{18\left(ab+bc+ca\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
BĐT đúng do a, b, c là các số thực dương. Ta có Q.E.D
P/s: Đúng không ạ?:3
Bài 1: cho a,b,c là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh (a-b(b-c)(c-a) chia hết cho 48.
Bài 2: cho các số nguyên dương a,b,c sao cho (a-b)(b-c)(c-a)=a+b+c. Chứng minh a+b+c chia hết cho 27.
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố lớn hơn p>3 thì 2018-2p^4 chia hết cho 96.
1)
+) a, b, c là các số nguyên tố lớn hơn 3
=> a, b, c sẽ có dạng 3k+1 hoặc 3k+2
=> Trong 3 số (a-b); (b-c); (c-a) sẽ có ít nhất một số chia hết cho 3
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 3 (1)
+) a,b,c là các số nguyên tố lớn hơn 3
=> a, b, c là các số lẻ và không chia hết cho 4
=> a,b, c sẽ có dang: 4k+1; 4k+3
=> Trong 3 số (a-b); (b-c); (c-a) sẽ có ít nhất một số chia hết cho 4
th1: Cả 3 số chia hết cho 4
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 64 (2)
Từ (1); (2) => (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 64.3=192 vì (64;3)=1
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 48
th2: Có 2 số chia hết cho 4, Số còn lại chia hết cho 2
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 32 (3)
Từ (1) , (3)
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 32.3=96 ( vì (3;32)=1)
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 48
Th3: chỉ có một số chia hết cho 4, hai số còn lại chia hết cho 2
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 16
Vì (16; 3)=1
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 16.3=48
Như vậy với a,b,c là số nguyên tố lớn hơn 3
thì (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 48