\(x^3-y^3-2y^2-3y-1=0\)

\(<=>x^3=y^3+2y^2+3y+1\)≤\(y^3+3y^2+3y+1=(y+1)^3\)(vì \(y^2\)≥0) (1)

Ta có:\(x^3=y^3+2y^2+3y+1>y^3-3y^2+3y-1\)\(=(y-1)^3\) (2)

Từ (1) và (2) 

\(=>(y-1)^3< y^3+2y^2+3y+1=x^3 =<(y+1)^3\)

\(=>y^3+2y^2+3y+1=y^3,(y+1)^3\)

Xong giải ra thôi

Rất xin lỗi bạn vì đến năm 2021 bn ms nhận được câu trả lời

sao tôi toàn gặp 2015 thế nhỉ

Cái này bộ ba pytago nên bạn chỉ cần cm x=2 là đc

Lời giải:

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{7}\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{7}\)

\(\Rightarrow 7(x+y)=xy\)

\(\Leftrightarrow (xy-7x)-7y=0\)

\(\Leftrightarrow x(y-7)-7(y-7)=49\)

\(\Leftrightarrow (x-7)(y-7)=49(*)\)

Vì $x,y$ đều là số nguyên dương nên \(x-7,y-7\geq -6\)

Do đó từ $(*)$ ta có xét những TH sau:

TH1: \(\left\{\begin{matrix} x-7=1\\ y-7=49\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=8\\ y=56\end{matrix}\right.\) (t/m)

TH2: \(\left\{\begin{matrix} x-7=49\\ y-7=1\end{matrix}\right.\Rightarrow x=56; y=8\) (t/m)

TH3: \(\left\{\begin{matrix} x-7=7\\ y-7=7\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=14\) (t/m)

Vậy ......

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{7}\Rightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{y-7}{7y}\Rightarrow x=\dfrac{7y}{y-7}=7+\dfrac{49}{y-7}\)

Để x, y nguyên \(\Rightarrow49⋮y-7\Rightarrow y-7=Ư\left(49\right)=\left\{-49;-7;-1;1;7;49\right\}\)

\(y-7=-49\Rightarrow y=-42< 0\) (loại)

\(y-7=-7\Rightarrow y=0\) (loại)

\(y-7=-1\Rightarrow y=6\Rightarrow x=-42< 0\) (loại)

\(y-7=1\Rightarrow y=8\Rightarrow x=56\)

\(y-7=7\Rightarrow y=14\Rightarrow x=14\)

\(y-7=49\Rightarrow y=56\Rightarrow x=8\)

Vậy pt có 3 cặp nghiệm nguyên dương \(\left(x;y\right)=\left(56;8\right);\left(14;14\right);\left(8;56\right)\)

Tuy đã 5 năm rồi nhưng tôi vẵn làm vậy :)

cái này phải vận dụng cái giả thiết cho là nghiệm nguyên dương

   \( x^2+(x+y)^2=(x+9)^2\)

\(<=>x^2+x^2+2xy+y^2=x^2+18x+81\)

\(<=>(x+y)^2=18x+81\)

Ta có:\((x+y)^2-x^2=(x+y-x)(x+y+x)=y(2x+y)>0\)

\(=>(x+y)^2>x^2\)

\(=>18x+81>x^2\)

\(=>x^2+18x+81>2x^2>x^2\) (1)

Lại có:\(18x+81=(x^2+18x+81)-x^2=(x+9)^2-x^2<(x+9)^2\)(2)

Từ (1) và (2)

\(=>x^2<18x+81=(x+y)^2<(x+9)^2\)

\(=>18x+81=(x+1)^2,(x+2)^2,...,(x+8)^2\)

Chịu khó giải ra nha bn