Lời giải:

Giả sử 2 phân số trên có thể đồng thời là số tự nhiên.

Ta có:
$\frac{7n-1}{4}$ là số tự nhiên

$\Rightarrow 7n-1\vdots 4$
$\Rightarrow 7n-1-8n\vdots 4$

$\Rightarrow -n-1\vdots 4\Rightarrow n+1\vdots 4$

$\Rightarrow n=4t-1$ với $t$ tự nhiên.

Khi đó:
$\frac{5n+3}{12}=\frac{5(4t-1)+3}{12}=\frac{20t-2}{12}$
$=\frac{10t-1}{6}$

Vì $10t-1$ lẻ với mọi $t$ tự nhiên nên $10t-1\not\vdots 2$

$\Rightarrow 10t-1\not\vdots 6$

$\Rightarrow \frac{5n+3}{12}$ không là số tự nhiên (trái với giả sử)

Vậy không thể tồn tại stn $n$ để 2 phân số trên đều là số tự nhiên.

giảy giúp mình đi .........:(

Xét hiệu: \(\frac{7n-1}{4}-\frac{5n+3}{12}=\frac{3.\left(7n-1\right)}{12}-\frac{5n+3}{12}\)

                                                      \(=\frac{21n-3}{12}-\frac{5n+3}{12}\)

                                                      \(=\frac{\left(21n-3\right)-\left(5n+3\right)}{12}\)

                                                         \(=\frac{21n-3-5n-3}{12}\)

                                                           \(=\frac{16n-6}{12}\)

Do 16n chia hết cho 4; 6 không chia hết cho 4 => 16n - 6 không chia hết cho 4 => \(\frac{16n-6}{12}\)không là số tự nhiên

=> 7n - 1/4 và 5n + 3/12 không đồng thời là số tự nhiên với mọi số nguyên dương n (đpcm)

Ta có:

7n-1 chia hết cho 4

Suy ra:7n-1+8 chia hết cho 4

suy ra 7n+7 chia hết cho 4

suy ra 7.n+1 chia hết cho 4

suy ra n+1 chia hết cho 4(vì 4,7 nguyên tố cùng nhau)

suy ra n=4k+1

đối với 5n+3/12 bạn làm tương tự nha!!!!chúc học giỏi

Gọi d là ƯCLN(7n+4;5n+3)

Ta có:7n+4\(⋮\)d;5n+3\(⋮\)d

=>5*(7n+4)\(⋮\)d;7*(5n+3)\(⋮\)d

=>35n+20\(⋮\)d;35n+21\(⋮\)d

=>[(35n+21)-(35n+20)]\(⋮\)d

=>[35n+21-35n-20]\(⋮\)d

=>1\(⋮\)d

=>d=1

Vì ƯCLN(7n+4;5n+3)=1 nên phân số \(\frac{7n+4}{5n+3}\) luôn luôn tối giản(nEN)

Gọi d là UCLN (7n+4;5n+3)

=>*\(\left(7n+4\right)⋮d\Rightarrow5.\left(7n+4\right)⋮d\)

     *\(\left(5n+3\right)⋮d\Rightarrow7.\left(5n+3\right)⋮d\)

Suy ra: 5.(7n+4)-7.(5n+3) chia hết cho d

=>35n+20-35n-21 chia hết cho d

=>-1 chia hết cho d

=> d chỉ có thể là 1 

=> P/s \(\frac{7n+4}{5n+3}\) tối giản

gọi a là ƯC LN(7n+4;5n+3)

ta có

7n+4\(⋮\)a\(\Rightarrow\)35n+20\(⋮\)a

5n+3\(⋮\)a\(\Rightarrow\)35n+21\(⋮\)a

\(\Rightarrow\)(35n+21)-(35n+20)\(⋮\)a

=1\(⋮\)a\(\Rightarrow\)a=1

Vậy với mọi số tự nhiên n thì phân số \(\frac{7n+4}{5n+3}\)luôn tối giản