bạn tự vẽ hình giúp mik nha

a) áp dụng t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có

OM là tia phân giác \(\widehat{AOI}\)

ON là tpg \(\widehat{IOB}\)

mà:\(\widehat{AOI}+\widehat{BOI}=180^o\)\(\Rightarrow OM\perp ON\)(t/c 2 góc kề bù)

vậy \(\widehat{MON}=90^o\)

b)từ t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có

MA=MI;BN=NI

\(\Rightarrow\)AM+BN=MI+NI=MN9(đpcm)

c)ta có:AM.BN=MI.NI(1)

xét \(\Delta MON\) vuông tại O có

MI.NI(đlý)=\(OI^2=R^2\)(2)

từ (1) và (2)\(\Rightarrow AM.BN=R^2\)

Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với đường tròn (O). Nối OI

Ta có:  (hai góc kề bù)

OM là tia phân giác của góc AOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

ON là tia phân giác của góc BOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra : OM ⊥ ON (tính chất hai góc kề bù)

Vậy 

Ta có: MA = MI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

NB = NI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà: MN = MI + IN

Suy ra: MN = AM + BN

Tam giác OMN vuông tại O có OI ⊥ MN (tính chất tiếp tuyến)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

O I 2 = MI.NI

Mà: MI = MA, NI = NB (chứng minh trên)

Suy ra : AM.BN =  O I 2  =  R 2

b: Xét (O) có

MC là tiếp tuyến

MA là tiếp tuyến

Do đó: MC=MA

Xét (O) có

NC là tiếp tuyến

NB là tiếp tuyến

Do đó: NC=NB

Ta có: MN=MC+NC

nên MN=MA+NB

a: Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

Do đó: CA=CM và OC là phân giác của góc AOM

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc BOM

=>\(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{MOD}\)

\(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\widehat{MOC}+2\cdot\widehat{MOD}=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

=>OC\(\perp\)OD

b: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

\(\dfrac{AC^2+BD^2}{CD^2}\)

\(=\dfrac{AC^2+\left(3AC\right)^2}{\left(CM+MD\right)^2}\)

\(=\dfrac{10AC^2}{\left(CA+BD\right)^2}\)

\(=\dfrac{10AC^2}{\left(AC+3AC\right)^2}=\dfrac{10}{4^2}=\dfrac{10}{16}=\dfrac{5}{8}\)