a) Trong tam giác ABC, ta có: AD là đường phân giác của:

Mà AB = 15cm và AC = 20cm ( gt )

Nên \(\dfrac{DC}{DB}\)

( Tính chất tỉ lệ thức đã học ở lớp 7 )

b) Kẻ 

Ta có:\(S_{ABD}\)=\(\dfrac{1}{2}\)AH.BD

\(S_{ACD}\)=\(\dfrac{1}{2}\)AH.CD

⇒\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}}\)=\(\dfrac{\dfrac{1}{2}AH.BD}{\dfrac{1}{2}AH.CD}\)=\(\dfrac{BD}{DC}\)

Mà \(\dfrac{DB}{DC}\)=\(\dfrac{15}{12}\)=\(\dfrac{3}{4}\)

⇒\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}}\)=\(\dfrac{3}{4}\)(đpcm)

a) Xét tam giác ABC có:

BD là tia phân giác \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}\)(tính chất)

 \(\Rightarrow\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{BC}{7}=\dfrac{25}{7}\)(tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DB=\dfrac{25.3}{7}=\dfrac{75}{7}\left(cm\right)\\DC=\dfrac{25.4}{7}=\dfrac{100}{7}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ACD}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AH.DC}{\dfrac{1}{2}.AH.BC}=\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{100}{7}:25=\dfrac{4}{7}\)

a: Xét ΔABC có 

AD là đường phân giác ứng với cạnh BC

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)

hay \(\dfrac{BD}{15}=\dfrac{CD}{20}\)

mà BD+CD=25cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{15}=\dfrac{CD}{20}=\dfrac{25}{35}=\dfrac{5}{7}\)

Do đó: \(BD=\dfrac{75}{7}cm;CD=\dfrac{100}{7}cm\)

Tia phân giác của góc A cắt BC tại D => \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}\)

=> \(\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4}\)

=> \(\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ACD}}=\left(\frac{BD}{DC}\right)^2=\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}\)

Hình vẽ : 

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=5^2-3^2=16\)

hay AC=4(cm)

Vậy: AC=4cm

b) Xét ΔABD vuông tại A và ΔEBC vuông tại E có 

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBC}\)(BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

Do đó: ΔABD\(\sim\)ΔEBC(g-g)

Lời giải:
a. $AB=AC=14$ cm nên $ABC$ là tam giác cân tại $A$
Do đó đường phân giác $AD$ đồng thời là đường trung tuyến 

$\Rightarrow BD=DC=\frac{BC}{2}=6$ (cm) 

b. 

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{CD}=1$ 

Hình vẽ:

Cậu tự vẽ hình nhé !

Chứng minh :

a) Xét \(\Delta\)ABC : BD là tia phân giác của góc BAC ( giả thiết )

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\) ( tính chất đường phân giác trong tam giác )

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{BD}{BD+DC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)  

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BD}{12}=\dfrac{14}{28}\)

\(\Rightarrow\) BD = \(\dfrac{12.14}{28}\) = 6 cm 

Có BD + DC = BC ( tính chất cộng đoạn thẳng )

\(\Rightarrow\) DC = BC - BD = 12 -6 = 6 cm

b) Xét \(\Delta\)ABC có : AB = AC ( = 14 )  

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)ABC cân tại A 

\(\Rightarrow\) góc ABC = góc ACB ( 2 góc ở đáy )

 Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)ACD có :

 góc ABC = góc ACB ( chứng minh trên ) 

góc BAD = góc DAC ( BD là tia phân giác của góc BAC ) 

\(\Rightarrow\)\(\Delta ABD\) đồng dạng \(\Delta\)ACD ( g.g )

\(\Rightarrow\dfrac{S\Delta ABD}{S\Delta ACD}=^{ }\) \(\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{S\Delta ABD}{S\Delta ACD}=\dfrac{144}{144}=1\)