vì n chẵn nên n= 2m (m thuộc z) => (2m)^3 - 4(2m) chia hết cho 8

mà 8m^3 - 8m = 8m( m^2 -1)= 8 (m-1)m(m+1) do (m-1)m(m+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên (m-1)m(m+1) chia hết cho 6

vậy 8(m-1)m(m+1) chia hết cho 48

\(n^3-4n=n\left(n^2-4\right)=n\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)

Vì n chẵn => n - 2 và n + 2 cũng là số chẵn

Có n(n-2)(n+2) chia hết cho 2 và 4

\(\Rightarrow n^3-4n⋮\left(2.4.2\right)=16\)

\(n^3+4n=n^3-n+5n=n\left(n^2-1\right)+5n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+5n\)

Có \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2;3;4\)

\(5n⋮2\)

\(\Rightarrow n^3+4n⋮16\)

Gọi n là 2k

\(\Rightarrow n^3-4n=\left(2k\right)^3-4.2k=8k^3-8k=8k\left(k^2-1\right)=8k.\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)

Với k chẵn

\(\Rightarrow8k⋮16\Rightarrow8k.\left(k-1\right)\left(k+1\right)⋮16\Rightarrow n^3-4n⋮16\)(1)

Với k lẻ

\(\Rightarrow k-1⋮2\Rightarrow8k\left(k-1\right)⋮16\Rightarrow8k.\left(k-1\right)\left(k+1\right)⋮16\Rightarrow n^3-4n⋮16\)(2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow n^3-4n⋮16\)

Tương tự

\(n^3-4n=\left(n-2\right)n\left(n+2\right)⋮16\)(vì là tích 3 số chẵn liên tiếp)

\(n^3+4n=n[\left(n+2\right)^2-4n]\)\(=n\left(n+2\right)^2-4n^2⋮16\)

(vì 

* n chia hết cho 2 =>4 n^2 chia hết cho 16

* n chia hết cho 2

=> n+2 chia hết cho 2         => (n+2)^2 chia hết cho 4

=> n(n+2)^2 chia hết cho 8

và n(n+2)^2 chia hết cho 2

Suy ra nó chia hết cho 16

a. 

Đề bài sai, ví dụ \(n=1\) lẻ nhưng  \(1^2+4.1+8=13\) ko chia hết cho 8

b.

n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Do \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6

\(\Rightarrow8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 48

11:

n^3-n^2+2n+7 chia hết cho n^2+1

=>n^3+n-n^2-1+n+8 chia hết cho n^2+1

=>n+8 chia hết cho n^2+1

=>(n+8)(n-8) chia hết cho n^2+1

=>n^2-64 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1-65 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1 thuộc Ư(65)

=>n^2+1 thuộc {1;5;13;65}

=>n^2 thuộc {0;4;12;64}

mà n là số tự nhiên

nên n thuộc {0;2;8}

Thử lại, ta sẽ thấy n=8 không thỏa mãn

=>\(n\in\left\{0;2\right\}\)

n chẵn => n=2k ( k thuộc N)

\(A=n^3+4n=\left(2k\right)^3+4\left(2k\right)=8k^3+8k=8k\left(k^2+1\right)⋮16\)