Lời giải:
Theo công thức hằng đẳng thức thì:

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+b^{n-1})\vdots a-b$ (đpcm)

Với $n$ lẻ:

$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+....-ab^{n-2}+b^{n-1})\vdots a+b$ (đpcm)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}a⋮c\\b⋮c\end{cases}}\Rightarrow\left(a+b\right)⋮c\)

Vì \(a⋮c\)và \(b⋮c\)nên \(am⋮c\)và \(bn⋮c\)với \(m,n\inℤ\)

\(\Rightarrow\left(am+bn\right)⋮c\)(đpcm)

Lời giải:

$a\vdots c\Rightarrow am\vdots c$ với mọi $m$ nguyên.

$b\vdots c\Rightarrow bn\vdots c$ với mọi $n$ nguyên.

$\Rightarrow am+bn\vdots c$ (đpcm)

a/ 

\(\overline{aba}=101.a+10b=98a+3a+7b+3b=\)

\(=\left(98a+7b\right)+3\left(a+b\right)\)

\(98a+7b⋮7;\left(a+b\right)⋮7\Rightarrow3\left(a+b\right)⋮7\)

\(\Rightarrow\overline{abc}=\left(98a+7b\right)+3\left(a+b\right)⋮7\)

b/ xem lại đề bài

Bài 2.

\(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)

( 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3)

\(P-\left(a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+...+\left(a_n^3-a_n\right)\) chia hết cho 3

=> P chia hết cho 3

\(A=1+3+3^2+3^3+....+3^{11}\)

\(=\left(1+3+3^2\right)\left(3^3+3^4+3^5\right)+.....+\left(3^9+3^{10}+3^{11}\right)\)

\(=13.1+3^3.13+...+3^9.13\)

\(=13.\left(1+3^3+3^6+3^9\right)\)

Vì có cơ số là 13 => A chia hết cho 13

b) \(A=1+3+3^2+3^3+....+3^{11}\)

\(=40.1+40.3^4+40.3^8\)

\(=40.\left(1+3^4+3^8\right)\)

Vì có cơ số 40 nên A chia hết 40 

Ta có

\(\left(+\right)A=\left(1+3+3^2\right)+3^3\left(1+3+3^2\right)+.....+3^9\left(1+3+3^2\right)=13\left(1+3^3+...+3^9\right)\)(chia hết cho 13)

\(\left(+\right)A=\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^4\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^8\left(1+3+3^2+3^3\right)=40\left(1+3^4+3^8\right)\) chia hết cho 40

b) ab+ba

Ta có:ab=10a+b

          ba=10b+a

 ab+ba=10a+b+10b+a

           =  11a  + 11b

Ta thấy: 11a⋮11   ;   11b⋮11

=>ab+ba⋮11 (ĐPCM)

Lời giải:

1)

Ta có : \(A=81^7-27^9-9^{13}=(3^4)^7-(3^3)^9-(3^2)^{13}\)

\(\Leftrightarrow A=3^{28}-3^{27}-3^{26}=3^{26}(3^2-3-1)\)

\(\Leftrightarrow A=5.3^{26}=405.3^{22}\)

Do đó \(A\vdots 405\) (đpcm)

2)

Ta thấy : \(12^{2}\equiv 11\pmod {133}\)

\(\Rightarrow 12^{2n+1}\equiv 11^{n}.12\pmod {133}\)

\(\Rightarrow 12^{2n+1}+11^{n+2}\equiv 11^n.12+11^{n+2}\pmod {133}\)

\(\Leftrightarrow 12^{2n+1}+11^{n+2}\equiv 11^n(12+11^2)\equiv 11^n.133\equiv 0\pmod {133}\)

Do đó: \(12^{2n+1}+11^{n+2}\vdots 133\) (đpcm)

3)

Ta thấy \(A=5x+2y;B=9x+7y\Rightarrow 3A+4B=51x+34y\)

Vì \(51\vdots 17;34\vdots 17\Rightarrow 3A+4B\vdots 17\)

Nếu \(A\vdots 17\Rightarrow 4B\vdots 17\). Mà $(4,17)$ nguyên tố cùng nhau nên \(B\vdots 17\)

Do đó ta có đpcm.