Do \(MA=MB\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABM\) cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{A_1}\)   \(\left(1\right)\)
Do \(MA=MC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta AMC\) cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{A_2}=\widehat{C}\)   \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{BAC}\)
Mà \(\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{BAC}=180^o\)(Tổng ba góc trong một tam giác)
\(\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{BAC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
Do đó \(\Delta ABC\) vuông tại A

Tham khảo link   :    https://hoc24.vn/cau-hoi/chung-minh-rang-trong-mot-tam-giac-neu-trung-tuyen-ung-voi-mot-canh-bang-mot-nua-canh-ay-thi-tam-giac-do-la-tam-giac-vuong.334426537652

Trên tia đối của tia MA lấy điểm n sao cho MA=NA.

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta NCM$ có:

AM = AN ( theo cách lấy điểm N)

AMB = NMC ( đối đỉnh)

MB = MC (GT)

$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta NCM\left(c.g.c\right)\Rightarrow AB=NC$

Ta có : MA = 1/2 AN; mà MA = 1/2 BC

Suy ra: AN = BC

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta CNA$ CÓ:

AB = NC ( cmt)

AC chung

BC = AN (cmt)

$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta NAC\left(c.c.c\right)\Rightarrow BAC=NCA$

mà ABM=MCN ( vì t/g ABM = t/g NCM)

Suy ra ; AB//CN

$\Rightarrow BAC+NC$

Cho mình bổ sung từ cái phần " =>" ở cuối cùng ý là :

Suy ra ; AB//CN

⇒$BAC+NCA={}^{}$ (hai góc trong cùng phía)

=> 2.BAC = 180O

=> BAC= 90O

Do dó t/g BAC vuông tại A

Vậy trong một tam giác,nếu trung tuyến ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông

Vẽ hình là tự làm ok

Tưởng chỉ CTV  chép mạng mới phải ghi nguồn

Xét tứ giác ABDC có 

M là trung điểm của AD

M là trung điểm của BC

Do đó: ABDC là hình bình hành

mà \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ABDC là hình chữ nhật

Suy ra; BC=AD

=>AM=BC/2

  1/ Phần này đơn giản thôi bạn! Khi chứng minh tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuồn là trung điểm cạnh huyền thì ta chứng minh ngược lại là trung điểm của cạnh huyền trong 1 tam giác vuông là tâm của đường tròn ngoại tiếp. 
Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A và O là trung điểm của cạnh huyền BC 
=> AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
=> OA = OB =OC = 1/2 BC 
=> O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
Vậy .... 
2/ Giả sử ta có tam giác ABC có BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác. 
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
=>OA = OB =OC (*) 
mà BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp 
=> O là trung điểm BC 
=> OB = OC = 1/2 BC(**) 
từ (*) và (**) => OA = OB = OC = 1/2 BC 
=> tam giác ABC vuông tại A 

@Nhoc_sieu_pham đây là toán lớp 7 mà, sao lại giải cách lớp 9 như vậy được?

1> Giả sử đó là tam giác vuông ABC, trung tuyến AM. Trên tia đối MA lấy điểm H sao cho M là trung điểm của AH.

=>MA=MH=1/2AH(*)

\(\Delta AMC=\Delta BMH\left(c.g.c\right)\)

=>\(\widehat{CAM}=\widehat{BHM}\)và AC=BH

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trrong của 2 đường thẳng AC và BH

=> AC // BH

mà AC L AB => BH L AB => \(\widehat{ABH}=90^o\)

Xét \(\Delta ABC\)và\(\Delta BAH\)có

AC=BC

\(\widehat{BAC}=\widehat{ABH}=90^o\)

cạnh chung AB

=> \(\Delta ABC=\Delta BAH\left(c.g.c\right)\)

=> BC=AH(**)

Lại có MB=MC=1/2BC(***)

Từ (*),(**),(***)=> MA=MB=MC=1/2BC (đpcm)

Sai thì sửa,chửa thì đẻ

Xét \(\Delta ABC\), đường trung tuyến AM có \(AM=\frac{1}{2}BC\). Ta sẽ chứng minh : \(\widehat{BAC}=90^0\)

Dễ thấy : MA = MB = MC

Các \(\Delta MAB,\Delta MAC\)cân tại M nên: \(\widehat{B}=\widehat{A_1},\widehat{C}=\widehat{A_2}\). Do đó :

\(\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{BAC}\)