giúp e với ; plz 

Bài này ko biết làm theo kiểu toán sơ cấp, nhìn điều kiện \(x^2-y^2=4\) thì khá dễ đến việc hyperbolic hóa biến số, qua đó dễ dàng tìm được min của P là \(2\sqrt{5}-6\) . Nhưng sử dụng toán sơ cấp thì đúng là chưa nghĩ ra.

Cách hyperbolic hóa:

\(P=3x^2\left(x^2-4\right)+xy^3+xy\left(y^2+4\right)=3\left(xy\right)^2+xy^3+x^3y=3\left(xy\right)^2+xy\left(x^2+y^2\right)\)

Nếu x;y cùng dấu thì P>0, xét trong trường hợp x;y trái dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử \(x>0\) 

Từ giả thiết: \(x^2-y^2=4\Rightarrow\left(\dfrac{x}{2}\right)^2-\left(\dfrac{y}{2}\right)^2=1\) \(\Rightarrow\dfrac{x}{2}\ge1\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{2}=cosh\left(u\right)\\\dfrac{y}{2}=sinh\left(u\right)\end{matrix}\right.\)

\(P=3\left(4sinh\left(u\right).cosh\left(u\right)\right)^2+4sinh\left(u\right).cosh\left(u\right)\left[4sinh^2u+4cosh^2u\right]\)

\(=12sinh^2\left(2u\right)+8sinh\left(2u\right).cosh\left(2u\right)\)

\(=6\left[cosh\left(4u\right)-1\right]+4sinh\left(4u\right)\)

\(=6cosh\left(4u\right)+4sinh\left(4u\right)-6\)

\(=2\sqrt{5}\left(\dfrac{3}{\sqrt{5}}cosh\left(4u\right)+\dfrac{2}{\sqrt{5}}sinh\left(4u\right)\right)-6\)

\(=2\sqrt{5}cosh\left(4u+\alpha\right)-6\ge2\sqrt{5}-6\)

(Trong đó  \(\dfrac{3}{\sqrt{5}}=cosh\left(\alpha\right)\) ; \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}=sinh\left(\alpha\right)\))

Nhìn điểm rơi \(4u+\alpha=0\) với \(\alpha=arccosh\left(\dfrac{3}{\sqrt{5}}\right)=ln\left(\sqrt{5}\right)\) xuất hiện logarit tự nhiên thì mình không nghĩ bằng 1 pp sơ cấp nào đó có thể giải quyết được bài này.

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si và Cauchy-Schwarz cho các số dương ta có:

$A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{x+y}{2}}=\frac{1}{x}+\frac{2}{x+y}=2(\frac{1}{2x}+\frac{1}{x+y})$

$\geq 2.\frac{4}{2x+x+y}=\frac{8}{3x+y}\geq \frac{8}{4}=2$

Vậy $A_{\min}=2$. Giá trị này đạt được tại $x=y; 3x+y=4\Leftrightarrow x=y=1$

P=3x^2y^2-x^3-2xy+6y^2+3x^2+2xy-6y^2

=3x^2y^2+3x^2-x^3

=3*(-2)^2*(-2)^2+3*(-2)^2-(-2)^3

=68

a: Để hai đường thẳng song song thì m-3=3

hay m=6

Tham khảo: Tìm x, y biết x^2+y^2+1/x^2+1/y^2=4 - thanh duy

k=-4x6=-24

=>x=-24/y

\(\Leftrightarrow x=-24:\dfrac{12}{5}=-24\cdot\dfrac{5}{12}=-10\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM

$A=\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\geq 2\sqrt[4]{\frac{1}{xy}}$

Cũng áp dụng AM-GM:

$4=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 4$

Do đó: $A\geq 2\sqrt[4]{\frac{1}{xy}}\geq 2\sqrt[4]{\frac{1}{4}}=\sqrt{2}$

Vậy $A_{\min}=\sqrt{2}$ khi $x=y=2$

\(=-\left(-2\right)^2-2\cdot\left(-2\right)\cdot4+3\cdot\left(-2\right)^3+2\cdot4-3\cdot\left(-2\right)^3\)

\(=-4+16-24+8+24=-4+24=20\)

Thay x=-2, y=4 vào biểu thức ta có:
\(-x^2-2xy+3x^3+2y-3x^3\\ =-x^2-2xy+2y\\ =-\left(-2\right)^2-2\left(-2\right).4+2.4\\ =-4+16+8\\ =20\)

làm nhanh mk sẽ tick