Cho a,b,c là các số dương. Tính GTNN của B = \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
Cho a, b, c là các số dương. GTNN của \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
Đặt \(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
dùng BĐT Cauchy cho 3 số dương
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=3\)
\(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}\cdot\frac{a}{c}}=3\)
Cộng theo vế ta có
\(A\ge3+3=6\)
Vậy MinA=6
Áp dụng bđt Cauchy , ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}+2\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{a}{c}}\)
\(=2+2+2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\\\frac{b}{c}=\frac{c}{b}\\\frac{c}{a}=\frac{a}{c}\end{cases}\) \(\Rightarrow a=b=c\)
Vậy BT đạt GTNN bằng 6 khi a = b = c
Cho a,b,c,d là các số dương . Tìm GTNN của biểu thức :
\(M=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{a+b+c}+\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+d+a}{b}+\frac{d+a+b}{c}+\frac{a+b+c}{d}\)
cái này mà là của lớp 3 à. Sao khó thế
cái này ít nhất cũng phải lớp 6 lớp 7
Đặt \(S=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{a+b+c}\)
\(=\frac{a^2}{ab+ac+ad}+\frac{b^2}{bc+bd+ab}+\frac{c^2}{cd+ac+bc}+\frac{d^2}{ad+bd+cd}\)
Theo Svac-xơ thì \(S\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)
\(=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)
Ngoài ra ta có : \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab;a^2+c^2\ge2ac;a^2+d^2\ge2ad\\b^2+c^2\ge2bc;b^2+d^2\ge2bd;c^2+d^2\ge2cd\end{cases}}\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{\frac{8}{3}\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)
Đặt \(P=\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+d+a}{b}+\frac{d+a+b}{c}+\frac{a+b+c}{d}\)
\(=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{d}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{a}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{a}{d}+\frac{b}{d}+\frac{c}{d}\)
\(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{d}{a}+\frac{a}{d}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{d}{b}+\frac{b}{d}\right)+\left(\frac{c}{d}+\frac{d}{c}\right)\)
\(\ge2.6=12\)
\(\Rightarrow M=S+P\ge\frac{5}{6}+12=12\frac{5}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d
Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b=1.Tìm GTNN của bt sau
\(a,A=\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\)
\(b,B=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\)
Bài 2:Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn a+b+c=9.tìm GTNN của bt
\(a,A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}\) \(b,B=\frac{a^3}{c^2+b^2}+\frac{b^3}{a^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\)
Bai 3:Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn \(x^2+y^2=4\) Tìm GTNN của bt \(A=\left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(y+\frac{1}{x}\right)^2\)
Bài 4 Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn a+b+c=1 Tìm GTLN của bt
\(a,A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\) \(b,B=\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}\)
1a
\(A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\)
\(\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(A_{min}=\frac{161}{16}\)
1b.\(B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}\)
\(\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(B_{min}=\frac{769}{128}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bài 2 Dùng Cauchy-Schwarz dạng Engel là ra:D
Bài 3:Đừng vội dùng Cauchy-Schwarz dạng Engel ngay kẻo bị phức tạp:v Thay vào đó hãy khai triển nó ra:
\(A=x^2+y^2+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\)
\(\ge4+2.2+\frac{4}{x^2+y^2}=4+4+1=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\sqrt{2}\)
Bài 4: Dùng Cauchy or Bunhiacopxki là ok!
1. Cho a + b + c = 9 và a,b,c là các số dương. Tìm GTNN của P = \(\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\)
2. Cho a,b,c > 0 thõa mãn: a + b + c = 1. Tìm GTNN của Q = \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\)
đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))
Sử dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)
bài làm của e :
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)
Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)
Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1
chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)
Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) . Tìm GTNN của \(P=\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}\)
\(P=\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}+2-2=\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-2\)
\(=\left(\frac{a^2}{b^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)+\left(\frac{b^2}{c^3}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{c^2}{a^3}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)-2\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương:
\(\frac{a^2}{b^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{b^3}.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}}=\frac{3}{b}\)
\(\frac{b^2}{c^3}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^2}{c^3}.\frac{1}{b}.\frac{1}{b}}=\frac{3}{c}\)
\(\frac{c^2}{a^3}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{c^2}{a^3}.\frac{1}{c}.\frac{1}{c}}=\frac{3}{a}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{b}+\frac{3}{c}+\frac{3}{a}-2=3-2=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z\) thì
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\P=\frac{y^3}{x^2}+\frac{z^3}{y^2}+\frac{x^3}{z^2}\end{cases}}\)
Ta có:
\(\frac{x^3}{z^2}+z+z\ge3x,\frac{y^3}{x^2}+x+x\ge3y,\frac{z^3}{y^2}+y+y\ge3z\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{z^2}\ge3x-2z,\frac{y^3}{x^2}\ge3y-2x,\frac{z^3}{y^2}\ge3z-2y\)
\(\Rightarrow P\ge3x-2z+3y-2x+3z-2y=x+y+z=1\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}=2\)
Tìm GTNN của M=(a+b)(b+c)(c+a)
MÌnh nghĩ đề phải là tìm GTLN chứ
Ta có: \(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}=2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+1}=\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}}\)
Tương tự: \(\frac{1}{b+c+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+1\right)\left(c+a+1\right)}}\)
\(\frac{1}{c+a+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)}}\)
Nhân lại ta có: \(\frac{1}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\ge\frac{8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{1}{8}\)
Dấu = khi a=b=c=1/4
Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa nãm a+b+c=1. Tìm GTNN của biểu thức
\(H=\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\)
Bài 2:Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn \(a^2-6ab-2b^2=0\)
Tính giá trị của biểu thức \(P=\frac{ab}{a^2+2b^2}\)
cho a,b,c là các số dương . Tìm GTNN của
\(P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Mặt khác \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\forall xy>0\)
\(\Rightarrow\frac{P}{3+2+2+2}=9\)
Vậy Pmin=9 khi a=b=c
Cô si thẳng luôn cho nó chất:v
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
@ Bình @ Dòng thứ 5: \(P\ge3+2+2+2=9\)
@ Huy @ Dấu "=" của em xảy ra ở đâu??
Sao các em cứ trình bày thế này?
Thêm 1 cách nhé! Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
\(P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}\right)^2\right]\left[\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\right]\)
\(\ge\left(\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}.\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2=3^2=9\)
=> \(P\ge9\)
Dấu "=" xảy ra <=> a= b = c.
Vậy min P =9 <=> a = b = c.
Cho a,b,c là các số dương thõa mãn :
abc=1. Tính GTNN: \(A=\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\)
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge a\)(AM-GM)
\(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b\)
\(\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)
cộng vế với vế \(\Rightarrow A\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c-1\right)\ge\frac{3}{4}\left(3\sqrt[3]{abc}-1\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
Thay abc=1 vào thử tìm xem có ra GTNN ko