a, Xét tam giác ABC ta co : 

M là trung điểm AB 

N là trung điểm AC

=> MN là đường trung bình tam giác ABC 

=> MN // BC và MN = 1/2 BC 

=> BMNC là hình bình hành 

b, Vì  AK cắt BC tại K

Mà MN // BC => AK cắt MN tại I 

=> MI = NI ( I là trung điểm )

=> AMKN là hình bình hành 

=>  AI = IK 

Bài 1: 

a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC

hay BMNC là hình thang

b: Xét ΔABK có MI//BK

nên MI/BK=AM/AB=1/2(1)

XétΔACK có NI//CK

nên NI/CK=AN/AC=1/2(2)

Từ (1)và (2) suy ra MI/BK=NI/CK

mà MI=NI

nên BK=CK

hay K là trug điểm của BC

Xét ΔABC có 

K là trung điểm của BC

M là trung điểm của AB

Do đó: KM là đường trung bình

=>KM//AN và KM=AN

hay AMKN là hình bình hành

a: AM=5cm

Hình bạn tự vẽ chắc dc rùi nhé mình chỉ giải thôi 

Bài làm 

a/ \(\Delta\)ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC ( M là trung điểm BC )

Nên  Am cũng là đường cao \(\Rightarrow\)AM \(⊥\)BC

  vì M là trung điểm của BC \(\Rightarrow\)BM= MC = \(\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.6=3cm\)

Xét tam giác AMB vuông tại M có:

AM² + BM² = AB²

AM² + 3²     = 5²

AM² + 9     =  25

AM²           =  25 - 9 =16

\(\Rightarrow\)AM= \(\sqrt{16}=4\)

Vậy S ABC = \(\frac{1}{2}AM.BC\)= ^{\(\frac{1}{2}4.6=12\)}

b/ Xét tứ giác AMCN có :

OA=OC (gt)

OM=ON ( N đối xứng với M qua O )

\(\Rightarrow\)Tứ giác AMCN là hình bình hành

Mà AM \(⊥\)MC ( chứng minh ở câu a ) \(\Rightarrow\)\(\widehat{AMC}\)= 90 ⁰

Hình bình hành AMCN có \(\widehat{AMC}=90\)nên AMCN là hình chữ nhật

C/ Để AMNC là hình vuông thì AM phải bằng MC ( Vì theo lý thuyết hcn có 2 cạnh kề bằng nhau là hình vuông )

Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì có :

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên BM = AM = MC 

Vậy để tứ giác AMCN là hình vuông thì tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A

https://lazi.vn/edu/exercise/cho-tam-giac-abc-goi-d-e-f-theo-thu-tu-la-trung-diem-cua-ab-bc-ca-goi-m-n-p-q-theo-thu-tu-la-trung-diem

Bạn xem tại link này nhé

Học tốt!!!!!!

a) Ta có: M là trung điểm của BC(gt)

nên \(BM=CM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{6}{2}=3cm\)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(M là trung điểm của BC)

nên AM là đường cao ứng với cạnh đáy BC(Định lí tam giác cân)

\(\Rightarrow AM\perp BC\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABM vuông tại M, ta được:

\(AB^2=AM^2+BM^2\)

\(\Leftrightarrow AM^2=AB^2-BM^2=5^2-3^2=16\)

hay AM=4(cm)

Xét ΔABC có AM là đường cao ứng với cạnh BC(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AM\cdot BC}{2}=\dfrac{4\cdot6}{2}=\dfrac{24}{2}=12cm^2\)

Vậy: Diện tích tam giác ABC là 12cm²

b) Xét tứ giác AMCN có 

O là trung điểm của đường chéo AC(gt)

O là trung điểm của đường chéo MN(M và N đối xứng nhau qua O)

Do đó: AMCN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AMCN có \(\widehat{AMC}=90^0\)(\(AM\perp BC\))

nên AMCN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

c) Hình chữ nhật AMCN trở thành hình vuông khi AM=CM

mà \(CM=\dfrac{BC}{2}\)(M là trung điểm của BC)

nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(M là trung điểm của BC)

\(AM=\dfrac{BC}{2}\)(cmt)

Do đó: ΔABC vuông tại A(Định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

hay \(\widehat{BAC}=90^0\)

Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện \(\widehat{BAC}=90^0\) thì AMCN là hình vuông