\(xy-2x+y=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(y-2\right)+\left(y-2\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y-2\right)=-1\)

Ta có bảng sau:

Vậy ta tìm được các cặp số \(\left(0;1\right);\left(-2;3\right)\) thỏa yêu cầu bài toán.

tìm tất cả cặp số nguyên x,y sao cho : xy-2x-y =1

10x+20y=2010? hay 10y+20x=2010?

10 y + 20 x = 2010

x².(y+1) + y = 30

x². (y+1) + (y+1) = 29

(y+1).(x²+1) = 29 = 1 . 29 = 29 . 1

Ta có 20x + 10y = 2010

=> 2x+y = 201

Ta có 201 là số lẻ, 2x là số chẵn

=> y là số lẻ => y có dạng 2k+1

=> x = 100-k (k là số nguyên)

Giải:

\(20x+10y=2010\)

⇔\(2x+y=201\)

\(2x\) là số chẵn \(;\) \(201\) là số lẻ ➩ \(y\) là số lẻ . Đặt \(y\) \(2k+1\)

➩\(2x+2k+1=201\)

⇔\(x=\dfrac{201-2k-1}{2}=100-k\)

Vậy \((x;y)=(100-k;2k+1)+k\) ∈ \(z\) (có ∞ ngiệm)

=> 10(2x+y)=2010

=> 2x+y=201 (1)

Ta co 201 là số lẻ,2x là số chẵn 

=> y là số lẻ=> y=2k+1

Thay y= 2k+1 vào (1) ta được:

2x+2k+1=201

=> 2(x+k)+1=201

=> 2(x+k) =201-1

=> 2(x+k) = 200

=> x+k=100

=> x= 100-k ( k∈Z)

bài trên đang còn:   đồng thời ( 3y+1)\(⋮\)y

Ta cần tìm tất cả các cặp số hữu tỉ \(\left(\right. x , y \left.\right)\) sao cho:

Từ đó:

\(\frac{a}{x y} = b \Rightarrow x y = \frac{a}{b}\)

Vậy ta có hệ:

\(\left{\right. x + y = a \in \mathbb{Z} \\ x y = \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}\)

Từ tổng và tích \(x + y = a\), \(x y = \frac{a}{b}\), ta xem \(x , y\) là nghiệm của phương trình bậc 2:

\(t^{2} - a t + \frac{a}{b} = 0\)

Phương trình này có nghiệm hữu tỉ khi:

\(\Delta = a^{2} - 4 \cdot \frac{a}{b} = a^{2} - \frac{4 a}{b} \in \mathbb{Q}\)

→ Ta muốn nghiệm là hữu tỉ, nên căn thức phải là số hữu tỉ, tức:

\(a^{2} - \frac{4 a}{b} \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{h}ữ\text{u}\&\text{nbsp};\text{t}ỉ\)

Để đơn giản, ta chọn các giá trị nhỏ để tìm cặp cụ thể.

→ \(x + y = 2\), \(x y = \frac{2}{1} = 2\)

Giải phương trình:

\(t^{2} - 2 t + 2 = 0 \Rightarrow \Delta = 4 - 8 = - 4 \Rightarrow \text{v} \hat{\text{o}} \&\text{nbsp};\text{nghi}ệ\text{m}\&\text{nbsp};(\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{h}ữ\text{u}\&\text{nbsp};\text{t}ỉ)\)

Phương trình: \(t^{2} - 2 t + 1 = 0 \Rightarrow \left(\right. t - 1 \left.\right)^{2} = 0 \Rightarrow x = y = 1\)

✅ Thỏa mãn:

Vậy \(\left(\right. 1 , 1 \left.\right)\) là 1 cặp nghiệm.

Với \(x , y \in \mathbb{Q}\), thỏa mãn:

\(x + y = a \in \mathbb{Z} , x y = \frac{a}{b} \&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; b \in \mathbb{Z}\)

Thì \(x , y\) là nghiệm của phương trình:

\(t^{2} - a t + \frac{a}{b} = 0\)

Muốn \(x , y \in \mathbb{Q}\) thì phương trình trên phải có nghiệm hữu tỉ. Do đó:

\(\Rightarrow2x-4xy+2y=0\\ \Rightarrow2x\left(1-2y\right)+2y-1=-1\\ \Rightarrow2x\left(1-2y\right)-\left(1-2y\right)=-1\\ \Rightarrow\left(2x-1\right)\left(2y-1\right)=1=1.1=\left(-1\right)\left(-1\right)\)

Với \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1=1\\2y-1=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\rightarrow\left(1;1\right)\)

Với \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1=-1\\2y-1=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\rightarrow\left(0;0\right)\)

Vậy các cặp \(\left(x;y\right)\) cần tìm là \(\left(1;1\right);\left(0;0\right)\)