Ta có (x + y +z)² ≥ 0 suy ra x² + y² + z² + 2 ( xy + yz + zx) ≥ 0 

1 + 2 ( xy + yz + zx) ≥ 0 

xy + yz + zx ≥ - 1 / 2 

Thế thì min (xy + yz + zx) = - 1 / 2 khi x+ y + z = 0 và x² + y² + z² = 1 ( ♥ ) 

Lại có I xz I = I x I I z I ≤ 1 / 2 ( x² + z² ) = 1 / 2 ( 1 - y² ) ≤ 1 / 2 

Thế thì min ( xz ) = - 1 / 2 khi x = - z và x² + y² + z² = 1 và y = 0 ( ♣ ) 

Từ ( ♥ ) và ( ♣ ) cho ta 

min ( xy + yz + 2.zx ) = - 1 / 2 - 1 / 2 = - 1 

khi x = √2 / 2 ; y = 0 ; z = - √2 / 2 chẳng hạn 

P/C bạn dựa vào đk x + y + z = 0 ; x² + y² + z² = 1;y = 0 ; x = - z

Đúng thì like giúp mik nha. Thx bạn

\(A=xy+xz+2yz+2xz=x\left(y+z\right)+2z\left(x+y\right)\)

\(=x\left(6-x\right)+2z\left(6-z\right)=-x^2+6x+2\left(-z^2+6z\right)\)

\(=-\left(x-3\right)^2-2\left(z-3\right)^2+27\le27\)

\(A_{max}=27\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(3;0;3\right)\)

Ta có: 2yz + y² + z² - x²

= (y² + 2yz + z²) - x²

= (y + z)² - x²

= (y + z + x)(y + z - x)

= 2a(y + z + x - 2x)

= 2a(2a - 2x)

= 2a.2(a - x)

= 4a(a - x) --> Đpcm

 A = xy + 2yz + 3xz = xy + xz + 2yz + 2xz = x(y + z) + 2z(y + z) 
Áp dụng BĐT: (a+b)^2/4 ≥ ab dấu = khi a = b 
ta có: 
(x + y + z)^2/4 ≥ x(y + z) 
(x+ y +z)^2/4 ≥ z(y + z) 
=> A ≤ 3(x + y + z)^2/4 = 3.36/4 = 27 
=>Giá trị lớn nhất của  = 27 sẽ xảy ra khi có các trường hợp: 
{x = y + z 
{z = y + z 
Vậy y = 0 và x = z = 3

\(A=xy+2yz+3zx=x\left(6-x-z\right)+2\left(6-x-z\right)+3zx\)

\(=-x^2+6x-2z^2+12z=\left(-x^2+6x-9\right)+\left(-2z^2+12z-18\right)+27\)

\(=27-\left(x-3\right)^2-2\left(z-3\right)^2\le27\)

\(A=x\left(6-x-z\right)+2y\left(6-x-z\right)+3zx=-x^2+6x-2z^2+12z\)

\(=\left(-x^2+6x-9\right)+\left(-2z^2+12z-18\right)+27=27-\left(x-3\right)^2-2\left(z-3\right)^2\le27\)

PS: Cai trên ghi thiêu chữ y. Mà thôi coi cai này nè nha.

-Đề sai.

Giả sử \(x=\dfrac{1}{3};y=\dfrac{2}{3};z=1\Rightarrow x+y+z=2\)

\(\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}+2.\dfrac{2}{3}.1+2.1.\dfrac{1}{3}=\dfrac{20}{9}< 3\)

từ giả thiết ta có : z = 6 - x - y

Ta có : \(A=xy+z\left(2y+3x\right)=xy+\left(6-x-y\right)\left(2y+3x\right)\)

\(=-3x^2-2y^2-4xy+18x+12y\)

Do đó : \(3A=-9x^2-6y^2-12xy+54x+36y=-9x^2-6x\left(2y-9\right)-6y^2+36y\)

\(=-\left(3x+2y-9\right)^2-2y^2+81\le81\)

\(\Rightarrow A\le27\)

Vậy giá trị lớn nhất của A là 27 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x+2y-9=0\\y=0\end{cases}\Leftrightarrow x=3;y=0;z=3}\)