10²⁰¹⁷-1=100...000 (2011 c/s 0) -1=99....999 (2010 c/s 9)=9.111...111(2010 c/s 1) chia hết cho 9 

Vậy 10²⁰¹⁷-1 chia hết cho 9 (đpcm)

Bài 4:

$A+2=1+2+2^2+2^3+...+2^{11}$

$=(1+2)+(2^2+2^3)+....+(2^{10}+2^{11})$

$=(1+2)+2^2(1+2)+....+2^{10}(1+2)$

$=(1+2)(1+2^2+....+2^{10})$

$=3(1+2^2+...+2^{10})\vdots 3$

Vậy $A+2\vdots 3$ nên $A$ không chia hết cho $3$

Bài 5:

$n^2+n+1=n(n+1)+1$
Vì $n,n+1$ là hai số tự nhiên liên tiếp nên sẽ tồn tại một số chẵn và 1 số lẻ

$\Rightarrow n(n+1)$ chẵn 

$\Rightarrow n^2+n+1=n(n+1)+1$ lẻ (điều phải chứng minh) 

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p ko chia hết cho 3

=> p^2 chia 3 dư 1

=> p62-1 chia hết cho 3

ĐPCM

ai tk mik mik lại (nhớ thông báo cho mik để mik nha)

ta có: abcabc=abcx1000+abcx1=abcx(1000+1)=abcx1001=mà 1001 chia hết cho 11=>abcabc sẽ chia hết cho 11

Ta lại có: 1001 chia hết cho 7=>abcabc sẽ chia hết cho 7

\(A=3+3^2+3^3+...+3^{60}\)

\(A=3\left(1+3+3^2+3^3\right)+...+3^{57}\left(1+3+3^2+3^3\right)\)

\(A=3.40+...+3^{57}.40\)

\(A=40\left(3+3^5...+3^{57}\right)\)

mà \(40⋮5\)

\(\Rightarrow A⋮5\left(dpcm\right)\)

thank bạn nha 

\(3+3^2+3^3+...+3^{60}\\ =\left(3+3^2+3^3+3^4\right)=\left(3^5+3^6+3^7+3^8\right)+...+\left(3^{57}+3^{58}+3^{59}+3^{60}\right)\\ =3\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^5\left(1+3+3^2+3^3\right)+...+3^{57}\left(1+3+3^2+3^3\right)\\ =3.40+3^5.40+...+3^{57}.40\\ =\left(3+3^5+...+3^{57}\right).40⋮5\left(Vì:40⋮5\right)\)

Ta có : \(n\left(n^2+1\right)\left(n^2+4\right)=n\left(n^2-4+5\right)\left(n^2-1+5\right)=\left[n\left(n^2-4\right)+5n\right]\left[\left(n^2-1\right)+5\right]=n\left(n^2-4\right)\left(n^2-1\right)+5n\left(n^2-4\right)+5n\left(n^2+4\right)\)

\(=n\left(n^2-4\right)\left(n^2-1\right)+5n\left(n^2-4+n^2+4\right)=\left(n-2\right).\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\left(n+2\right)+10n^3\)

Vì (n-2)(n-1).n.(n+1)(n+2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5

\(10n^3\) có chứa thừa số 5 nên chia hết cho 5

Do đó ta có điều phải chứng minh.

\(A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{99}+2^{100}\\ =\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{99}+2^{100}\right)\\ =\left(2+2^2\right)+2^2\left(2+2^2\right)+...+2^{98}\left(2+2^2\right)\\ =6+2^2.6+...+2^{98}.6\\ =\left(1+2^2+...+2^{98}\right).6⋮6\left(đpcm\right)\)

\(A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{99}+2^{100}\)

\(=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{99}+2^{100}\right)\)

\(=6+2^2\left(2+2^2\right)+...+2^{98}\left(2+2^2\right)\)

\(=6\left(1+2^2+....+2^{98}\right)⋮6\)