\(\overrightarrow{AH}=\left(x_H-1;y_H-2\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(11;2\right)\)

\(\overrightarrow{BH}=\left(x_H+2;y_H-6\right)\)

Theo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}11x_H-11+2y_H-4=0\\2x_H+4-11y_H+66=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}22x_H+4y_H=30\\22x_H-121y_H=-770\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}125y_H=800\\11x_H+2y_H=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_H=\dfrac{32}{5}\\x_H=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

a: M(4;0) là trung điểm của AB

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=2\cdot4=8\\y_A+y_B=2\cdot0=0\end{matrix}\right.\)

N(5;2) là trung điểm của AC 

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_C=2\cdot5=10\\y_A+y_C=2\cdot2=4\end{matrix}\right.\)

P(2;3) là trung điểm của BC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=2\cdot2=4\\y_B+y_C=2\cdot3=6\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=8\\x_A+x_C=10\\x_B+x_C=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B-x_C=8-10=-2\\x_B+x_C=4\\x_A+x_C=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_B=-2+4=2\\x_B+x_C=4\\x_A+x_C=10\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B=\dfrac{2}{2}=1\\x_C=4-1=3\\x_A=10-3=7\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}y_A+y_B=0\\y_A+y_C=4\\y_B+y_C=6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y_B-y_C=-4\\y_B+y_C=6\\y_A+y_B=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y_B=2\\y_B+y_C=6\\y_A=-y_B\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y_B=1\\y_C=6-1=5\\y_A=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy: A(7;-1);B(1;1); C(3;5)

b: A(7;-1); P(2;3)

\(AP=\sqrt{\left(2-7\right)^2+\left(3+1\right)^2}=\sqrt{\left(-5\right)^2+4^2}=\sqrt{41}\)

c: A(7;-1)

Tọa độ điểm đối xứng với A qua trục Ox là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=x_A=7\\y=-y_A=1\end{matrix}\right.\)

Tọa độ điểm đối xứng với A qua trục Oy là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-x_A=-7\\y=y_A=-1\end{matrix}\right.\)

e: E thuộc Ox nên E(x;0)

N(5;2);P(2;3); E(x;0)

\(\overrightarrow{NP}=\left(-3;1\right);\overrightarrow{NE}=\left(x-5;-2\right)\)

Để N,P,E thẳng hàng thì \(\dfrac{x-5}{-3}=\dfrac{-2}{1}\)

=>x-5=6

=>x=11

Vậy: E(11;0)

a: E đối xứng A qua B

=>B là trung điểm của AE

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_E=2\cdot x_B\\y_A+y_E=2\cdot y_B\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_E+1=2\cdot\left(-2\right)=-4\\y_E+2=2\cdot6=12\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_E=-4-1=-5\\y_E=10\end{matrix}\right.\)

Vậy: E(-5;10)

b: A(1;2); B(-2;6); C(9;8)

\(AB=\sqrt{\left(-2-1\right)^2+\left(6-2\right)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\)

\(AC=\sqrt{\left(9-1\right)^2+\left(8-2\right)^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\)

\(BC=\sqrt{\left(9+2\right)^2+\left(8-6\right)^2}=\sqrt{11^2+2^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\)

Vì \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

Xét ΔCAB có CI là phân giác

nên \(\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{10}{5\sqrt{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

=>\(\dfrac{IA}{IB+IA}=\dfrac{2}{2+\sqrt{5}}\)

=>\(\dfrac{IA}{BA}=\dfrac{2}{\sqrt{5}+2}\)

=>\(AI=2\left(\sqrt{5}-2\right)\cdot AB\)

\(\overrightarrow{AI}=\left(x-1;y-2\right);\overrightarrow{AB}=\left(-3;4\right)\)

I nằm giữa A và B nên \(\overrightarrow{AI};\overrightarrow{AB}\) cùng hướng

=>\(\overrightarrow{AI}=\left(2\sqrt{5}-4\right)\cdot\overrightarrow{AB}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)=\left(2\sqrt{5}-2\right)\cdot\left(-3\right)=-6\sqrt{5}+6\\y-2=\left(2\sqrt{5}-2\right)\cdot4=8\sqrt{5}-8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-6\sqrt{5}+7\\y=8\sqrt{5}-6\end{matrix}\right.\)

a) Để tìm tọa độ điểm E đối xứng với A qua B, ta sử dụng công thức tọa độ điểm đối xứng:
- X = 2x' - x
- Y = 2y' - y

Với A(1, 2) và B(-2, 6), ta có:
- X = 2 * (-2) - 1 = -5
- Y = 2 * 6 - 2 = 10

Vậy tọa độ của điểm E là E(-5, 10).

b) Để tìm tọa độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của tam giác ABC, ta sử dụng công thức:
- X = (ax + cx) / 2
- Y = (ay + cy) / 2

Với A(1, 2), B(-2, 6) và C(9,😎, ta có:
- X = (1 + 9) / 2 = 5
- Y = (2 +😎 / 2 = 5

Vậy tọa độ của điểm I là I(5, 5).

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-1;8\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(3;6\right)\end{matrix}\right.\) mà \(\dfrac{-1}{3}\ne\dfrac{8}{6}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) không cùng phương hay A,B,C không thẳng hàng

\(\Rightarrow A,B,C\) là 3 đỉnh của 1 tam giác

b.

Theo công thức trung điểm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{1+4}{2}=\dfrac{5}{2}\\y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{-3+3}{2}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(\dfrac{5}{2};0\right)\)

Gọi G là trọng tâm tam giác, theo công thức trọng tâm: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=\dfrac{1+0+4}{3}=\dfrac{5}{3}\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{-3+5+3}{3}=\dfrac{5}{3}\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{5}{3}\right)\)

c.

Gọi \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\overrightarrow{DC}=\left(4-x;3-y\right)\)

ABCD là hình bình hành khi \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-x=-1\\3-y=8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow D\left(5;-5\right)\)

a: Xét tứ giác BHCI có 

E là trung điểm của BC

E là trung điểm của HI

Do đó: BHCI là hình bình hành