Quy định của hoc24 là chỉ dc dăng 1 bài trong 1 câu hỏi bạn nhé

bài 1 :

 Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c và có chu vi là 2 
--> a + b + c = 2 

Trong 1 tam giác thì ta có: 
a < b + c 

--> a + a < a + b + c 
--> 2a < 2 
--> a < 1 

Tương tự ta có : b < 1, c < 1 

Suy ra: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0 
⇔
(1 – b – a + ab)(1 – c) > 0 
⇔
1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0 
⇔
1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc 

Nên abc < -1 + ab + bc + ca 
⇔
2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca 
⇔
a² + b² + c² + 2abc < a² + b² + c² – 2 + 2ab + 2bc + 2ca 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < (a + b + c)² - 2 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2² - 2 , do a + b = c = 2 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2 

--> đpcm 

chào nha

** Lần sau bạn lưu ý viết đề bằng công thức toán (hộp công thức nằm ở nút biểu tượng $\sum$ bên trái khung soạn thảo)

Lời giải:

a) Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:

$c< a+b\Rightarrow c^2< c(a+b)$

$b< a+c\Rightarrow b^2< b(a+c)$

$a<b+c\Rightarrow a^2< a(b+c)$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2< c(a+b)+b(a+c)+a(b+c)$

hay $a^2+b^2+c^2< 2(ab+bc+ac)$ (đpcm)

b) 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$\text{VT}[a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(a+b-c)]\geq (a+b+c)^2$

$\text{VT}[2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)]\geq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)}(*)$

Mà theo BĐT Cô-si:

$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$. Do đó:

$2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2-2(a^2+b^2+c^2)$

$\leq (a+b+c)^2-2.\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{(a+b+c)^2}{3}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow \text{VT}\geq 3$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

Lời giải khác của câu b

Đặt $b+c-a=x; a+c-b=y; a+b-c=z$. Theo BĐT tam giác thì $x,y,z>0$

$\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}; a=\frac{y+z}{2}; b=\frac{x+z}{2}$

Bài toán trở thành:

Cho $x,y,z>0$. CMR $\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq 3$
Thật vậy:

Áp dụng BĐT Cô-si:

 \(\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{8xyz}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}}{8xyz}}=3\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$

bạn cx z luôn nha Akai Haruma

sửa đề : cho a,b,c là 3 cạnh tam giác : CM : ab/a+b-c + bc/-a+b+c + ac/a-b+c  \(\ge\)a+b+c

vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên a + b - c > 0 ; -a +b + c > 0 ; a - b + c > 0

Đặt x = a + b - c ; y = -a + b + c ; z = a - b + c

Ta có : x + y + z = a + b + c ; a = \(\frac{y+z}{2}\); b = \(\frac{x+z}{2}\); c = \(\frac{x+y}{2}\)

\(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{-a+b+c}+\frac{ac}{a-b+c}=\frac{\left(y+z\right).\left(x+z\right)}{4z}+\frac{\left(x+z\right).\left(x+y\right)}{4x}+\frac{\left(x+y\right).\left(y+z\right)}{4y}\)

\(=\frac{1}{4}.\left(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}+3x+3y+3z\right)\)

\(=\frac{1}{4}.\left[3.\left(x+y+z\right)+\frac{1}{2}.\left(2\frac{xy}{z}+2\frac{yz}{x}+2\frac{xz}{y}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{4}.\left[3.\left(x+y+z\right)+\frac{y}{2}.\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\frac{x}{2}.\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\frac{z}{2}.\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\right]\)

\(\ge\frac{1}{4}.\left[3.\left(x+y+z\right)+x+y+z\right]=x+y+z\)

Mà x + y + z = a + b + c

\(\Rightarrow\)\(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{-a+b+c}+\frac{ac}{a-b+c}\)\(\ge\)\(a+b+c\)

Câu 1: C

Câu 2:A

Câu 3:C

Câu 4 C

Câu 5: B

Câu 6 1Đ, 2Đ, 3Đ, 4S

Câu 7: a, Đ

Câu 10 A.

Các câu khác k rõ đề