Giả sử (x-a)(x-10)+1 phân tích thành tích 2 đa thức bậc nhất có hệ số nguyên:(x-a)(x-10)+1 = (x-b)(x-c) x²-(10+a)x+10a+1 = x²-(b+c)x+bc => 10+a = b+c và 10a+1 = bc. bc=10a+1=10a+100 – 99 = 10(a+10)-99 = 10(b+c)-99 =>bc=10(b+c)-99 =>bc-10b-10c+100=1 (b-10)(c-10)=1 =>b-10=c-10=±1 b-10=c-10=1 => b=c=11 => a=b+c-10=12 b-10=c-10=-1 => b=c=9 => a=b+c-10=8 Vậy a=10 và a=8 a=12 => (x-a)(x-10)+1 =(x-12)(x-10)+1 = x²-22x+121 =(x-11)(x-11) a=8 => (x-a)(x-10)+1 =(x-8)(x-10)+1 = x²-18x+81=(x-9)(x-9) 

Để phân tích đa thức thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên, ta cần tìm giá trị của a và b sao cho đa thức (x - a)(x - 10) + 1 có phân tích thành tích của đa thức bậc nhất.

Đặt đa thức bậc nhất có hệ số nguyên là (x - b).

Để phân tích đa thức ban đầu thành tích của đa thức bậc nhất, ta sẽ nhân các đa thức bậc nhất có hệ số nguyên lại với nhau:

(x - a)(x - 10) = (x - b)(x - c)

Nhân hai đa thức bậc nhất lại với nhau, ta có:

x² - 10x - ax + 10a = x² - (b + c)x + bc

So sánh các hệ số của hai đa thức, ta có hệ thức:

-10x - ax = -(b + c)x
10a = bc

Từ đó, ta suy ra:

·         10 - a = -(b + c) --> a = 10 + b + c

Thay vào biểu thức 10a = bc, ta có:

10(10 + b + c) = bc
100 + 10b + 10c = bc

Vì đa thức (x−a)(x−10)+1(x−a)(x−10)+1 có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất có hệ số nguyên nên ta chỉ có hai cách phân tích duy nhất là: 

1)(x−a)(x−10)=(x+b)(x+c)2)(x−a)(x−10)=(−x+b)(−x+c)1)(x−a)(x−10)=(x+b)(x+c)2)(x−a)(x−10)=(−x+b)(−x+c) với b,c∈Zb,c∈Z

Ta sẽ tìm aa trong trường hợp 1)1), trường hợp còn lại làm tương tự

(x−a)(x−10)+1=(x−b)(x−c)⇔x2−(a+10)x+10a+1=x2+(b+c)x+bc(x−a)(x−10)+1=(x−b)(x−c)⇔x2−(a+10)x+10a+1=x2+(b+c)x+bc

Đồng nhất, ta được {b+c=−(a+10)bc=10a+1{b+c=−(a+10)bc=10a+1

⇒b,c⇒b,c là hai nghiệm nguyên của PT X2+(a+10)X+10a+1=0X2+(a+10)X+10a+1=0 với aa nguyên

⇒Δ=(a+10)2−40a−4=m2(m∈N)⇔(a−10)2−4=m2⇔(a−m−10)(a+m−10)=4⇒Δ=(a+10)2−40a−4=m2(m∈N)⇔(a−10)2−4=m2⇔(a−m−10)(a+m−10)=4

Vì a−m−10a−m−10 và a+m−10a+m−10 cùng tính chẵn lẻ và a+m−10≥a−m−10a+m−10≥a−m−10 nên:

{a+m−10=2a−m−10=2⇒a=12{a+m−10=2a−m−10=2⇒a=12

Hoặc : 

{a+m−10=−2a−m−10=−2⇒a=8

\(x^2-\left(a+10\right)x+10a+1=0\)

\(\Delta=a^2+20a+100-40a-4=\left(a-10\right)^2-4=\left(a-6\right)\left(a-14\right)\)

a thuộc Z => \(\Delta\) là số nguyên ; để TM yêu cầu => \(\Delta\) là số chính phương 

=> a =6 ; a =14